Cálculo Exemplos

$y = \sec (θ) \tan (θ)$

Etapa 1

Mantenha $y = f (θ)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 2

Reescreva $\ln (\sec (θ) \tan (θ))$ como $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\ln (y) = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = \ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\ln (\sec (θ)) + \ln (\tan (θ))$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [\ln (\sec (θ))]$ .

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Etapa 3.2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \ln (θ)$ e $g (θ) = \sec (θ)$ .

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Etapa 3.2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} \frac{d}{d θ} [\sec (θ)] + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.2

A derivada de $\sec (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec (θ) \tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\sec (θ)} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.3

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\frac{1}{\cos (θ)}} (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = 1 \cos (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.3.5

Multiplique $\cos (θ)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$

Etapa 3.2.4

Avalie $\frac{d}{d θ} [\ln (\tan (θ))]$ .

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Etapa 3.2.4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = \ln (θ)$ e $g (θ) = \tan (θ)$ .

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Etapa 3.2.4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Etapa 3.2.4.1.2

A derivada de $\ln (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Etapa 3.2.4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \frac{d}{d θ} [\tan (θ)]$

Etapa 3.2.4.2

A derivada de $\tan (θ)$ em relação a $θ$ é $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\tan (θ)} \sec^{2} (θ)$

Etapa 3.2.4.3

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{1}{\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}} \sec^{2} (θ)$

Etapa 3.2.4.4

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} \sec^{2} (θ)$

Etapa 3.2.4.5

Converta de $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ em $\cot (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \cot (θ) \sec^{2} (θ)$

Etapa 3.2.5

Simplifique.

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Etapa 3.2.5.1

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = \cos (θ) \sec (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.5.2.1

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.5.2.1.1

Reordene $\cos (θ)$ e $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \sec (θ) \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.1.2

Reescreva $\cos (θ) \sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{\cos (θ)} \cos (θ) \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.1.3

Cancele os fatores comuns.

$\frac{y'}{y} = 1 \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.2

Multiplique $\tan (θ)$ por $1$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.3

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \sec^{2} (θ) \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.4

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + {(\frac{1}{\cos (θ)})}^{2} \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (θ)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1^{2}}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cot (θ)$

Etapa 3.2.5.2.7

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos^{2} (θ)} \cdot \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$

Etapa 3.2.5.2.8

Combine.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1 \cos (θ)}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.2.5.2.9

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ e $\cos^{2} (θ)$ .

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Etapa 3.2.5.2.9.1

Fatore $\cos (θ)$ de $1 \cos (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos^{2} (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.2.5.2.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.2.5.2.9.2.1

Fatore $\cos (θ)$ de $\cos^{2} (θ) \sin (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 3.2.5.2.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{\cos (θ) \cdot 1}{\cos (θ) (\cos (θ) \sin (θ))}$

Etapa 3.2.5.2.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{y'}{y} = \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.2.5.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.5.3.1

Converta de $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ em $\tan (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\cos (θ) \sin (θ)}$

Etapa 3.2.5.3.2

Separe as frações.

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Etapa 3.2.5.3.3

Converta de $\frac{1}{\cos (θ)}$ em $\sec (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \frac{1}{\sin (θ)} \sec (θ)$

Etapa 3.2.5.3.4

Converta de $\frac{1}{\sin (θ)}$ em $\csc (θ)$ .

$\frac{y'}{y} = \tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (\tan (θ) + \csc (θ) \sec (θ)) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ)) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.2

Multiplique $\tan (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Etapa 5.2.1

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.2.2

Eleve $\tan (θ)$ à potência de $1$ .

$y' = \tan^{1} (θ) \tan^{1} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = {\tan (θ)}^{1 + 1} \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$

Etapa 5.3

Multiplique $\csc (θ) \sec (θ) (\sec (θ) \tan (θ))$ .

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Etapa 5.3.1

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec (θ)) \tan (θ)$

Etapa 5.3.2

Eleve $\sec (θ)$ à potência de $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) (\sec^{1} (θ) \sec^{1} (θ)) \tan (θ)$

Etapa 5.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) {\sec (θ)}^{1 + 1} \tan (θ)$

Etapa 5.3.4

Some $1$ e $1$ .

$y' = \tan^{2} (θ) \sec (θ) + \csc (θ) \sec^{2} (θ) \tan (θ)$