Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{2 \sqrt{5 x}}{5 x}$

Etapa 1

Mova o termo $\frac{2}{5}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{5 x}}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 2.1.2

À medida que $x$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x}$

Etapa 2.1.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Etapa 2.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5 x}}{x} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{5 x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{5 x}$ como ${(5 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.3

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [{(5 (x))}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.4

Aplique a regra do produto a $5 (x)$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.5

Como $5^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.3.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.12

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.13

Combine $5^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.14

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 2.3.15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{5^{\frac{1}{2}}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.5

Converta expoentes fracionários em radicais.

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Etapa 2.5.1

Reescreva $5^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{5}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 x^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Etapa 2.5.2

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}} \cdot 1$

Etapa 2.6

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$ por $1$ .

$\frac{2}{5} lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 3

Mova o termo $\frac{\sqrt{5}}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{x}}$

Etapa 4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{\sqrt{x}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{5} \cdot \frac{\sqrt{5}}{2} \cdot 0$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{5} \sqrt{5} \cdot 0$

Etapa 5.2

Combine $\frac{1}{5}$ e $\sqrt{5}$ .

$\frac{\sqrt{5}}{5} \cdot 0$

Etapa 5.3

Multiplique $\frac{\sqrt{5}}{5}$ por $0$ .

$0$