Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{t \to \infty} 2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{t}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $t$ e em $1$ .

$lim_{t \to \infty} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - 2$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} 2 t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 5.2

Como a função $t^{\frac{1}{2}}$ se aproxima de $\infty$ , a constante positiva $2$ vezes a função também se aproxima de $\infty$ .

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Etapa 5.2.1

Considere o limite com o múltiplo constante $2$ removido.

$lim_{t \to \infty} t^{\frac{1}{2}} - lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 5.2.2

Reescreva $t^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \sqrt{t} - lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 5.2.3

À medida que $t$ se aproxima de $\infty$ dos radicais, o valor chega a $\infty$ .

$\infty - lim_{t \to \infty} 2$

Etapa 5.3

Avalie o limite.

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Etapa 5.3.1

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\infty - 1 \cdot 2$

Etapa 5.3.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.3.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\infty - 2$

Etapa 5.3.2.2

Infinito mais ou menos um número é infinito.

$\infty$