Cálculo Exemplos

${(\sin (x) + \cos (x))}^{2}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \sin (x) + \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x) + \cos (x)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x) + \cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) \frac{d}{d x} [\sin (x) + \cos (x)]$

Etapa 2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) + \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) + \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (\sin (x) + \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5.2

Expanda $(2 \sin (x) + 2 \cos (x)) (\cos (x) - \sin (x))$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) (\cos (x) - \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) (\cos (x) - \sin (x))$

Etapa 5.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) + 2 \sin (x) (- \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $2 \sin (x) (- \sin (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) - 2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (2 x) - 2 {\sin (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos (x) \cos (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.3

Multiplique $2 \cos (x) \cos (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.3.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.3.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 {\cos (x)}^{1 + 1} + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.3.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) + 2 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 5.3.1.4

Reordene $2 \cos (x)$ e $- \sin (x)$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (x) (2 \cos (x))$

Etapa 5.3.1.5

Adicione parênteses.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (\sin (x) (2 \cos (x)))$

Etapa 5.3.1.6

Reordene $\sin (x)$ e $2$ .

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - (2 \cdot \sin (x) \cos (x))$

Etapa 5.3.1.7

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\sin (2 x) - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x) - \sin (2 x)$

Etapa 5.3.2

Subtraia $\sin (2 x)$ de $\sin (2 x)$ .

$0 - 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$

Etapa 5.3.3

Subtraia $2 \sin^{2} (x)$ de $0$ .

$- 2 \sin^{2} (x) + 2 \cos^{2} (x)$