Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 (x - 9) (x - 6)$

Etapa 1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = (3 x + 3 \cdot - 9) (x - 6)$

Etapa 1.2

Multiplique $3$ por $- 9$ .

$f (x) = (3 x - 27) (x - 6)$

Etapa 2

Expanda $(3 x - 27) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 x (x - 6) - 27 (x - 6)$

Etapa 2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 (x - 6)$

Etapa 2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Etapa 3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.1.1

Mova $x$ .

$f (x) = 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Etapa 3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = 3 x^{2} + 3 x \cdot - 6 - 27 x - 27 \cdot - 6$

Etapa 3.1.2

Multiplique $- 6$ por $3$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x - 27 \cdot - 6$

Etapa 3.1.3

Multiplique $- 27$ por $- 6$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x - 27 x + 162$

Etapa 3.2

Subtraia $27 x$ de $- 18 x$ .

$f (x) = 3 x^{2} - 45 x + 162$

Etapa 4

O mínimo de uma função quadrática ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$ . Se $a$ for positivo, o valor mínimo da função será $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{mín}$ $x = a x^{2} + b x + c$ ocorre em $x = - \frac{b}{2 a}$

Etapa 5

Encontre o valor de $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 5.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ .

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Etapa 5.2

Remova os parênteses.

$x = - \frac{- 45}{2 (3)}$

Etapa 5.3

Simplifique $- \frac{- 45}{2 (3)}$ .

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Etapa 5.3.1

Cancele o fator comum de $- 45$ e $3$ .

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Etapa 5.3.1.1

Fatore $3$ de $- 45$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.1.2.1

Fatore $3$ de $2 \cdot 3$ .

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{3 \cdot - 15}{3 \cdot 2}$

Etapa 5.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{- 15}{2}$

Etapa 5.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - - \frac{15}{2}$

Etapa 5.3.3

Multiplique $- - \frac{15}{2}$ .

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Etapa 5.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1 (\frac{15}{2})$

Etapa 5.3.3.2

Multiplique $\frac{15}{2}$ por $1$ .

$x = \frac{15}{2}$

Etapa 6

Avalie $f (\frac{15}{2})$ .

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{15}{2}$ na expressão.

$f (\frac{15}{2}) = 3 {(\frac{15}{2})}^{2} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{15^{2}}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $15$ à potência de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{2^{2}}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = 3 (\frac{225}{4}) - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2.1.4

Multiplique $3 (\frac{225}{4})$ .

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Etapa 6.2.1.4.1

Combine $3$ e $\frac{225}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{3 \cdot 225}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2.1.4.2

Multiplique $3$ por $225$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - 45 (\frac{15}{2}) + 162$

Etapa 6.2.1.5

Multiplique $- 45 (\frac{15}{2})$ .

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Etapa 6.2.1.5.1

Combine $- 45$ e $\frac{15}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 45 \cdot 15}{2} + 162$

Etapa 6.2.1.5.2

Multiplique $- 45$ por $15$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} + \frac{- 675}{2} + 162$

Etapa 6.2.1.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675}{2} + 162$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $\frac{675}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - (\frac{675}{2} \cdot \frac{2}{2}) + 162$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{675}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + 162$

Etapa 6.2.2.3

Escreva $162$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1}$

Etapa 6.2.2.4

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162}{1} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{162}{1}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675}{4} - \frac{675 \cdot 2}{4} + \frac{162 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 675 \cdot 2 + 162 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 675$ por $2$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 162 \cdot 4}{4}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $162$ por $4$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{675 - 1350 + 648}{4}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.5.1

Subtraia $1350$ de $675$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 675 + 648}{4}$

Etapa 6.2.5.2

Some $- 675$ e $648$ .

$f (\frac{15}{2}) = \frac{- 27}{4}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{15}{2}) = - \frac{27}{4}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{27}{4}$ .

$- \frac{27}{4}$

Etapa 7

Use os valores $x$ e $y$ para encontrar onde ocorre o mínimo.

$(\frac{15}{2}, - \frac{27}{4})$

Etapa 8