Cálculo Exemplos

$y = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ , $1 \leq x \leq 2$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 2]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{4 x}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 x = 0$

Etapa 1.1.2

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Divida cada termo em $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 1.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 1.1.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x = 0$

Etapa 1.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[1, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ é diferenciável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 2.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Etapa 2.1.1.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 2.1.1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 2.1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Etapa 2.1.1.3.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Etapa 2.1.1.3.5

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[1, 2]$ .

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Etapa 2.2.1

Para saber se a função é contínua em $[1, 2]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$ .

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Etapa 2.2.1.1

Defina o denominador em $\frac{1}{4 x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$4 x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.2.1.2.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 0$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 2.2.1.2.1.1

Divida cada termo em $4 x^{2} = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.1.2.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.2.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.1.2.1.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{0}{4}$

Etapa 2.2.1.2.1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1.2.1.3.1

Divida $0$ por $4$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 2.2.1.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 2.2.1.2.3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 2.2.1.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 2.2.1.2.3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.2.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \neq 0}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[1, 2]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[1, 2]$ , porque a derivada é contínua em $[1, 2]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[1, 2]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[1, 2]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = \frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ .

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{x^{3}}{3} + \frac{1}{4 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{x^{3}}{3}]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{3}}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2.3

Combine $3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 4.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.2.5.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{4 x}]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{4 x}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 4.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x^{2} + \frac{1}{4} (- x^{- 2})$

Etapa 4.3.4

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{- 2}$ .

$x^{2} - \frac{x^{- 2}}{4}$

Etapa 4.3.5

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}}$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{1}^{2} \sqrt{1 + {(x^{2} - \frac{1}{4 x^{2}})}^{2}} d x$

Etapa 6

Avalie a integral.

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Etapa 6.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} \frac{4 x^{4} + 1}{x^{2}} d x$

Etapa 6.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.2.1

Mova $x^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} (4 x^{4} + 1) x^{- 2} d x$

Etapa 6.3

Multiplique $(4 x^{4} + 1) x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{4} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.4

Simplifique.

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Etapa 6.4.1

Multiplique $x^{4}$ por $x^{- 2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.4.1.1

Mova $x^{- 2}$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 (x^{- 2} x^{4}) + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.4.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{- 2 + 4} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.4.1.3

Some $- 2$ e $4$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + 1 x^{- 2} d x$

Etapa 6.4.2

Multiplique $x^{- 2}$ por $1$ .

$\frac{1}{4} \int_{1}^{2} 4 x^{2} + x^{- 2} d x$

Etapa 6.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{4} (\int_{1}^{2} 4 x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Etapa 6.6

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} (4 \int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Etapa 6.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Etapa 6.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} x^{- 2} d x)$

Etapa 6.9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 2}$ com relação a $x$ é $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{x^{3}}{3}]_{1}^{2}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 6.10

Substitua e simplifique.

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Etapa 6.10.1

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} (4 ((\frac{2^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + - x^{- 1}]_{1}^{2})$

Etapa 6.10.2

Avalie $- x^{- 1}$ em $2$ e em $1$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{2^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3

Simplifique.

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Etapa 6.10.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1^{3}}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (4 (\frac{8}{3} - \frac{1}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} (4 \frac{8 - 1}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.4

Subtraia $1$ de $8$ .

$\frac{1}{4} (4 (\frac{7}{3}) - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.5

Combine $4$ e $\frac{7}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{4 \cdot 7}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.6

Multiplique $4$ por $7$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Etapa 6.10.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + 1)$

Etapa 6.10.3.9

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} - \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Etapa 6.10.3.10

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{- 1 + 2}{2})$

Etapa 6.10.3.11

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.10.3.12

Para escrever $\frac{28}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2})$

Etapa 6.10.3.13

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28}{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 6.10.3.14

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 6.10.3.14.1

Multiplique $\frac{28}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 6.10.3.14.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 6.10.3.14.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{2 \cdot 3})$

Etapa 6.10.3.14.4

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{1}{4} (\frac{28 \cdot 2}{6} + \frac{3}{6})$

Etapa 6.10.3.15

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{28 \cdot 2 + 3}{6}$

Etapa 6.10.3.16

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.10.3.16.1

Multiplique $28$ por $2$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{56 + 3}{6}$

Etapa 6.10.3.16.2

Some $56$ e $3$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{59}{6}$

Etapa 6.10.3.17

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{59}{6}$ .

$\frac{59}{4 \cdot 6}$

Etapa 6.10.3.18

Multiplique $4$ por $6$ .

$\frac{59}{24}$

Etapa 7

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{59}{24}$

Forma decimal:

$2.458\overline{3}$

Forma de número misto:

$2 \frac{11}{24}$

Etapa 8