Cálculo Exemplos

$\frac{3}{x} - \frac{x}{y} = 2$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\frac{3}{x} - \frac{x}{y}) = \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{3}{x} - \frac{x}{y}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{3}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3}{x}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$3 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.2.4

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = - 1$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}] + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y]}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.3.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y \cdot 1 - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.6

Multiplique $y$ por $1$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + \frac{x}{y} \cdot 0$

Etapa 2.3.7

Multiplique $\frac{x}{y}$ por $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}} + 0$

Etapa 2.3.8

Some $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ e $0$ .

$- 3 x^{- 2} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 3 \frac{1}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Combine os termos.

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Etapa 2.5.1.1

Combine $- 3$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{- 3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{x^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5.1.3

Para escrever $- \frac{3}{x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}}$

Etapa 2.5.1.4

Para escrever $- \frac{y - x y'}{y^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3}{x^{2}} \cdot \frac{y^{2}}{y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.5.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x^{2} y^{2}$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 2.5.1.5.1

Multiplique $\frac{3}{x^{2}}$ por $\frac{y^{2}}{y^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{y - x y'}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{x^{2}}$

Etapa 2.5.1.5.2

Multiplique $\frac{y - x y'}{y^{2}}$ por $\frac{x^{2}}{x^{2}}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{y^{2} x^{2}}$

Etapa 2.5.1.5.3

Reordene os fatores de $y^{2} x^{2}$ .

$- \frac{3 y^{2}}{x^{2} y^{2}} - \frac{(y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 3 y^{2} - (y - x y') x^{2}}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}}$

Etapa 3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y')}{x^{2} y^{2}} = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Defina o numerador como igual a zero.

$- 3 y^{2} - x^{2} (y - x y') = 0$

Etapa 5.2

Resolva a equação para $y'$ .

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{2} (- x y') = 0$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.1.2.1

Mova $x$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x \cdot x^{2}) (- 1 y') = 0$

Etapa 5.2.1.2.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - (x^{1} x^{2}) (- 1 y') = 0$

Etapa 5.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{1 + 2} (- 1 y') = 0$

Etapa 5.2.1.2.3

Some $1$ e $2$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y - x^{3} (- 1 y') = 0$

Etapa 5.2.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- 3 y^{2} - x^{2} y - 1 \cdot - 1 x^{3} y' = 0$

Etapa 5.2.1.3.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + 1 x^{3} y' = 0$

Etapa 5.2.1.3.3

Multiplique $x^{3}$ por $1$ .

$- 3 y^{2} - x^{2} y + x^{3} y' = 0$

Etapa 5.2.2

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.2.1

Some $3 y^{2}$ aos dois lados da equação.

$- x^{2} y + x^{3} y' = 3 y^{2}$

Etapa 5.2.2.2

Some $x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$

Etapa 5.2.3

Divida cada termo em $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ por $x^{3}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.3.1

Divida cada termo em $x^{3} y' = 3 y^{2} + x^{2} y$ por $x^{3}$ .

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Etapa 5.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.3.2.1

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

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Etapa 5.2.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{3} y'}{x^{3}} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Etapa 5.2.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{3}}$

Etapa 5.2.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.3.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x^{3}$ .

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Etapa 5.2.3.3.1.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{3}}$

Etapa 5.2.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.3.1.2.1

Fatore $x^{2}$ de $x^{3}$ .

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} (y)}{x^{2} x}$

Etapa 5.2.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{x^{2} y}{x^{2} x}$

Etapa 5.2.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{x^{3}} + \frac{y}{x}$