Cálculo Exemplos

$\int (\sqrt{x} (3 x - 2)) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \sqrt{x} (3 x - 2) d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = 3 x - 2$ e $d v = \sqrt{x}$ .

$(3 x - 2) (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \cdot 3 d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} \cdot 3 d x$

Etapa 3.3

Combine $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ e $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}} \cdot 3}{3} d x$

Etapa 3.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{6 x^{\frac{3}{2}}}{3} d x$

Etapa 3.5

Fatore $3$ de $6 x^{\frac{3}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} d x$

Etapa 3.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.6.1

Fatore $3$ de $3$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 (1)} d x$

Etapa 3.6.2

Cancele o fator comum.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{3 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3 \cdot 1} d x$

Etapa 3.6.3

Reescreva a expressão.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{1} d x$

Etapa 3.6.4

Divida $2 x^{\frac{3}{2}}$ por $1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \int 2 x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - (2 \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \int x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Etapa 7.2

Reescreva $(3 x - 2) \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 (\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$ como $2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} + \frac{- 4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 7.3

Simplifique.

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Etapa 7.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - 2 \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 7.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 2 (2 x^{\frac{5}{2}})}{5} + C$

Etapa 7.3.3

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 7.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 x^{\frac{5}{2}} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C$

Etapa 7.3.5

Para escrever $2 x^{\frac{5}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$2 x^{\frac{5}{2}} \cdot \frac{5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7.3.6

Combine $2 x^{\frac{5}{2}}$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5}{5} - \frac{4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 x^{\frac{5}{2}} \cdot 5 - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7.3.8

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10 x^{\frac{5}{2}} - 4 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7.3.9

Subtraia $4 x^{\frac{5}{2}}$ de $10 x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{6 x^{\frac{5}{2}}}{5} - \frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Etapa 7.4

Reordene os termos.

$\frac{6}{5} x^{\frac{5}{2}} - \frac{4}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$