Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{\sqrt{2 x - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Fatore $x$ de $2 x - x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $2 x$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 - x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x \cdot 2 + x (- x)}} d x$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 2 + x (- x)$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{x (2 - x)}} d x$

Etapa 2

Complete o quadrado.

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Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot 2 + x (- x)$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x + x (- x)$

Etapa 2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot x - x \cdot x$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.4.1

Mova $x$ .

$2 x - (x \cdot x)$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$2 x - x^{2}$

Etapa 2.1.5

Reordene $2 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 2 x$

Etapa 2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 2$

$c = 0$

Etapa 2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$d = \frac{2}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$d = \frac{1}{- 1}$

Etapa 2.4.2.1.3

Mova o número negativo do denominador de $\frac{1}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 1$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$d = - 1$

Etapa 2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Etapa 2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{2^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.5.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{4}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{4}{- 4}$

Etapa 2.5.2.1.3

Divida $4$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 1$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e = 0 + 1$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $1$ .

$e = 1$

Etapa 2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 1)}^{2} + 1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- {(x - 1)}^{2} + 1}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x - 1$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 3.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1}} d u$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 1^{2}}} d u$

Etapa 4.2

Reordene $- u^{2}$ e $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{\sqrt{1^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (u)$

$\arcsin (u) + C$

Etapa 6

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 1$ .

$\arcsin (x - 1) + C$