Cálculo Exemplos

$y = \frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{e^{x} - e^{- x}}{e^{x} + e^{- x}})$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x} - e^{- x}$ e $g (x) = e^{x} + e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} - e^{- x}] - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} - e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [- e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{- x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - \frac{d}{d x} [e^{- x}]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.5

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.5.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.5.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.5.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.6

Diferencie.

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Etapa 3.6.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} - e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique.

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + 1 e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.6.2.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot 1) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x}) (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.7

Eleve $e^{x} + e^{- x}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} (e^{x} + e^{- x}) - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.8

Eleve $e^{x} + e^{- x}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1} {(e^{x} + e^{- x})}^{1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.9

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{1 + 1} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.10

Diferencie usando a regra da soma.

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Etapa 3.10.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{x} + e^{- x}]}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.10.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x} + e^{- x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.11

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d x} [e^{- x}])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.12

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x$ .

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Etapa 3.12.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.12.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.12.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \frac{d}{d x} [- x])}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.13

Diferencie.

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Etapa 3.13.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x]))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.13.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} (- 1 \cdot 1))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.13.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} \cdot - 1)}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.13.3.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - 1 \cdot e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.13.3.3

Reescreva $- 1 e^{- x}$ como $- e^{- x}$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - (e^{x} - e^{- x}) (e^{x} - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.14

Eleve $e^{x} - e^{- x}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.15

Eleve $e^{x} - e^{- x}$ à potência de $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - ({(e^{x} - e^{- x})}^{1} {(e^{x} - e^{- x})}^{1})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{1 + 1}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.17

Some $1$ e $1$ .

$\frac{{(e^{x} + e^{- x})}^{2} - {(e^{x} - e^{- x})}^{2}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.18.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = e^{x} + e^{- x}$ e $b = e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{(e^{x} + e^{- x} + e^{x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2

Simplifique.

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Etapa 3.18.2.1

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + e^{- x} - e^{- x}) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.2

Subtraia $e^{- x}$ de $e^{- x}$ .

$\frac{(2 e^{x} + 0) (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.3

Some $2 e^{x}$ e $0$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - (e^{x} - e^{- x}))}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} - - e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.5

Multiplique $- - e^{- x}$ .

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Etapa 3.18.2.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + 1 e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.5.2

Multiplique $e^{- x}$ por $1$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{x} + e^{- x} - e^{x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.6

Subtraia $e^{x}$ de $e^{x}$ .

$\frac{2 e^{x} (0 + e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.7

Some $0$ e $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} (e^{- x} + e^{- x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.8

Some $e^{- x}$ e $e^{- x}$ .

$\frac{2 e^{x} \cdot 2 e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.9

Combine expoentes.

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Etapa 3.18.2.9.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 e^{x} e^{- x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.9.2

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 3.18.2.9.2.1

Mova $e^{- x}$ .

$\frac{4 (e^{- x} e^{x})}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.9.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4 e^{- x + x}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.9.2.3

Some $- x$ e $x$ .

$\frac{4 e^{0}}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 3.18.2.9.3

Simplifique $4 e^{0}$ .

$\frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{{(e^{x} + e^{- x})}^{2}}$