Cálculo Exemplos

$y = \sqrt{2 - x^{2}}$ , $0 \leq x \leq 1$

Etapa 1

Verifique se $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ é contínua.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Defina o radicando em $\sqrt{2 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 - x^{2} \geq 0$

Etapa 1.1.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 2$

Etapa 1.1.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 1.1.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Etapa 1.1.2.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.4.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.5

Escreva $| x | \leq \sqrt{2}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 1.1.2.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 1.1.2.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 1.1.2.6

Encontre a intersecção de $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.7

Resolva $- x \leq \sqrt{2}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.7.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Etapa 1.1.2.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Etapa 1.1.2.8

Encontre a união das soluções.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 1.1.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Notação de intervalo:

$[- \sqrt{2}, \sqrt{2}]$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}}$

Etapa 1.2

$f (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 2

Verifique se $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ é diferenciável.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.7.3

Mova ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 2.1.1.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.1.1.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.1.1.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 2.1.1.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.1.1.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Etapa 2.1.1.13

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Etapa 2.1.1.13.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 2.1.1.13.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.13.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.14

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.14.1

Fatore $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 2.1.1.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.1.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Determine se a derivada é contínua em $[0, 1]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para saber se a função é contínua em $[0, 1]$ ou não, encontre o domínio de $f' (x) = - \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{x}{\sqrt{{(2 - x^{2})}^{1}}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$

Etapa 2.2.1.2

Defina o radicando em $\sqrt{2 - x^{2}}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 - x^{2} \geq 0$

Etapa 2.2.1.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} \geq - 2$

Etapa 2.2.1.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} \geq - 2$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} \leq \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} \leq 2$

Etapa 2.2.1.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.4.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.5

Escreva $| x | \leq \sqrt{2}$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 2.2.1.3.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 2.2.1.3.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x \leq \sqrt{2} & x \geq 0 \\ - x \leq \sqrt{2} & x < 0 \end{cases}$

Etapa 2.2.1.3.6

Encontre a intersecção de $x \leq \sqrt{2}$ e $x \geq 0$ .

$0 \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.7

Resolva $- x \leq \sqrt{2}$ quando $x < 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.7.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.7.1.1

Divida cada termo em $- x \leq \sqrt{2}$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.7.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.7.1.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.7.1.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{\sqrt{2}}{- 1}$

Etapa 2.2.1.3.7.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.3.7.1.3.1

Mova o número negativo do denominador de $\frac{\sqrt{2}}{- 1}$ .

$x \geq - 1 \cdot \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.7.1.3.2

Reescreva $- 1 \cdot \sqrt{2}$ como $- \sqrt{2}$ .

$x \geq - \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.3.7.2

Encontre a intersecção de $x \geq - \sqrt{2}$ e $x < 0$ .

$- \sqrt{2} \leq x < 0$

Etapa 2.2.1.3.8

Encontre a união das soluções.

$- \sqrt{2} \leq x \leq \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.4

Defina o denominador em $\frac{x}{\sqrt{2 - x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{2 - x^{2}} = 0$

Etapa 2.2.1.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{2 - x^{2}}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.2.1

Simplifique ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(2 - x^{2})}^{1} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2.2.1.2

Simplifique.

$2 - x^{2} = 0^{2}$

Etapa 2.2.1.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$2 - x^{2} = 0$

Etapa 2.2.1.5.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.3.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 2$

Etapa 2.2.1.5.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.5.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.5.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 1}$

Etapa 2.2.1.5.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.3.2.3.1

Divida $- 2$ por $- 1$ .

$x^{2} = 2$

Etapa 2.2.1.5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.5.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.5.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.5.3.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.5.3.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 2.2.1.6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Notação de intervalo:

$(- \sqrt{2}, \sqrt{2})$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | - \sqrt{2} < x < \sqrt{2}}$

Etapa 2.2.2

$f' (x)$ é contínuo em $[0, 1]$ .

A função é contínua.

Etapa 2.3

A função é diferenciável em $[0, 1]$ , porque a derivada é contínua em $[0, 1]$ .

A função é diferenciável.

Etapa 3

Para garantir o comprimento do arco, a função e sua derivada devem ser contínuas no intervalo fechado $[0, 1]$ .

A função e sua derivada são contínuas no intervalo fechado $[0, 1]$ .

Etapa 4

Encontre a derivada de $f (x) = \sqrt{2 - x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 - x^{2}}$ como ${(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 2 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.7

Combine frações.

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Etapa 4.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.7.3

Mova ${(2 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 - x^{2}]$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 4.9

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 4.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Etapa 4.11

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x))$

Etapa 4.13

Simplifique os termos.

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Etapa 4.13.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x)$

Etapa 4.13.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x$

Etapa 4.13.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{- 2 x}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.13.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.14.1

Fatore $2$ de $2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (- x)}{2 ({(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Etapa 4.14.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- x)}{2 {(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.14.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.15

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Para encontrar o comprimento do arco de uma função, use a fórmula $L = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f' (x))}^{2}} d x$ .

$\int_{0}^{1} \sqrt{1 + {(- \frac{x}{{(2 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})}^{2}} d x$

Etapa 6