Cálculo Exemplos

${(x + 1)}^{3} - x^{3}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x + 1)}^{3} - x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{3}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$3 {(x + 1)}^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 2.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$3 {(x + 1)}^{2} - 3 x^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$- 3 x^{2} + 3 {(x + 1)}^{2}$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva ${(x + 1)}^{2}$ como $(x + 1) (x + 1)$ .

$- 3 x^{2} + 3 ((x + 1) (x + 1))$

Etapa 4.2.2

Expanda $(x + 1) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 4.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Etapa 4.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Etapa 4.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.3.1.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Etapa 4.2.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + x + x + 1)$

Etapa 4.2.3.2

Some $x$ e $x$ .

$- 3 x^{2} + 3 (x^{2} + 2 x + 1)$

Etapa 4.2.4

Aplique a propriedade distributiva.

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 3 (2 x) + 3 \cdot 1$

Etapa 4.2.5

Simplifique.

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Etapa 4.2.5.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3 \cdot 1$

Etapa 4.2.5.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- 3 x^{2} + 3 x^{2} + 6 x + 3$

Etapa 4.3

Some $- 3 x^{2}$ e $3 x^{2}$ .

$0 + 6 x + 3$

Etapa 4.4

Some $0$ e $6 x$ .

$6 x + 3$