Cálculo Exemplos

$\int (\frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{1 + \sin (2 x)}{\cos (2 x)} d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = 2 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} \cdot \frac{1}{2} d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Multiplique $\frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1}) \cdot 2} d u_{1}$

Etapa 3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (u_{1})$ .

$\int \frac{1 + \sin (u_{1})}{2 \cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1 + \sin (u_{1})}{\cos (u_{1})} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \cos (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = - \cos (u_{1}) d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = \sin (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\sin (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1})$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Cancele o fator comum de $1$ .

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Etapa 6.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{1} (1 + u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} \int 1 (1 + u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6.2

Multiplique $1 + u_{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2} \int 1 + u_{2} d u_{2}$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\int d u_{2} + \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \int u_{2} d u_{2})$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} (u_{2} + C + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} (u_{2} + \frac{1}{2} {u_{2}}^{2}) + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{2} (\sin (u_{1}) + \frac{1}{2} \sin^{2} (u_{1})) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{1}{2} \sin^{2} (2 x)) + C$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin^{2} (2 x)$ .

$\frac{1}{2} (\sin (2 x) + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2}) + C$

Etapa 12.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Etapa 12.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin^{2} (2 x)}{2} + C$

Etapa 12.4

Combine.

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{1 \sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 12.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.5.1

Multiplique $\sin^{2} (2 x)$ por $1$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{2 \cdot 2} + C$

Etapa 12.5.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sin (2 x)}{2} + \frac{\sin^{2} (2 x)}{4} + C$

Etapa 13

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \sin (2 x) + \frac{1}{4} \sin^{2} (2 x) + C$