Cálculo Exemplos

$2 x^{3} y^{4} = \sqrt{x - y}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - y}$ como ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x^{3} y^{4} = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3} y^{4}) = \frac{d}{d x} ({(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 3

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3} y^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{4}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{4}$ .

$2 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{4}] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 (x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (x^{3} (4 u^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 (x^{3} (4 y^{3} \frac{d}{d x} [y]) + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.4

Mova $4$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$2 (4 \cdot x^{3} y^{3} \frac{d}{d x} [y] + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.5

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + y^{4} (3 x^{2}))$

Etapa 3.7

Mova $3$ para a esquerda de $y^{4}$ .

$2 (4 x^{3} y^{3} y' + 3 \cdot y^{4} x^{2})$

Etapa 3.8

Simplifique.

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Etapa 3.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (4 x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

Etapa 3.8.2

Combine os termos.

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Etapa 3.8.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 (x^{3} y^{3} y') + 2 (3 y^{4} x^{2})$

Etapa 3.8.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - y$ .

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Etapa 4.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - y$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.3

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.5.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.6

Combine frações.

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Etapa 4.6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(x - y)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.6.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.6.3

Mova ${(x - y)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - y]$

Etapa 4.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 4.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Etapa 4.9

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 4.10

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$

Etapa 4.11

Simplifique.

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Etapa 4.11.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (1 - y')$ .

$(1 - y') \frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11.2

Multiplique $1 - y'$ por $\frac{1}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.1

Multiplique os dois lados por $2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1.1

Simplifique $(8 x^{3} y^{3} y' + 6 y^{4} x^{2}) (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 x^{3} y^{3} y' (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.1.1.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 6 y^{4} x^{2} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$16 x^{3} y^{3} y' {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.3

Mova $y^{3}$ .

$16 x^{3} y' y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.4

Mova $x^{3}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 y^{4} x^{2} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.1.1.2.5

Mova $y^{4}$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

Simplifique $\frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} (2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}})$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{1 - y'}{2 {(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.3

Cancele o fator comum de ${(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = \frac{1 - y'}{{(x - y)}^{\frac{1}{2}}} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.2.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = 1 - y'$

Etapa 6.2.2.1.4

Reordene $1$ e $- y'$ .

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} = - y' + 1$

Etapa 6.3

Resolva $y'$ .

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Etapa 6.3.1

Some $y'$ aos dois lados da equação.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1$

Etapa 6.3.2

Subtraia $12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ dos dois lados da equação.

$16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3

Fatore $y'$ de $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + y'$ .

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Etapa 6.3.3.1

Fatore $y'$ de $16 y' x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3.2

Eleve $y'$ à potência de $1$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3.3

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1 = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.3.4

Fatore $y'$ de $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot 1$ .

$y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 6.3.4

Divida cada termo em $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ por $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ e simplifique.

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Etapa 6.3.4.1

Divida cada termo em $y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1) = 1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}$ por $16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1$ .

$\frac{y' (16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1)}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Etapa 6.3.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.4.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 6.3.4.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1} + \frac{- 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Etapa 6.3.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.3.4.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$

Etapa 7

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - 12 x^{2} y^{4} {(x - y)}^{\frac{1}{2}}}{16 x^{3} y^{3} {(x - y)}^{\frac{1}{2}} + 1}$