Cálculo Exemplos

$\ln (2 x + y) = x + 1$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\ln (2 x + y)) = \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + y$ .

$\frac{1}{2 x + y} \frac{d}{d x} [2 x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reordene os fatores de $\frac{1}{2 x + y} (2 + y')$ .

$(2 + y') \frac{1}{2 x + y}$

Etapa 2.4.2

Multiplique $2 + y'$ por $\frac{1}{2 x + y}$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y}$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.4

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} = 1$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Multiplique os dois lados por $2 x + y$ .

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1.1

Simplifique $\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y)$ .

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Etapa 5.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2 x + y$ .

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Etapa 5.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 + y'}{2 x + y} (2 x + y) = 1 (2 x + y)$

Etapa 5.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 + y' = 1 (2 x + y)$

Etapa 5.2.1.1.2

Reordene $2$ e $y'$ .

$y' + 2 = 1 (2 x + y)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $2 x + y$ por $1$ .

$y' + 2 = 2 x + y$

Etapa 5.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$y' = 2 x + y - 2$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x + y - 2$