Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sqrt{x - a}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x - a}$ como ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(x - a)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - a)}^{\frac{1}{2}}] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x - a$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - a$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - a$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(x - a)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(x - a)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8.3

Mova ${(x - a)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - a] + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - a$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- a]) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.11

Como $- a$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- a$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0) + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.12

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.12.2

Multiplique $\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 1.1.14

Multiplique ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 1.1.15

Para escrever ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.16

Combine ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} (2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18

Multiplique ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.18.1

Mova ${(x - a)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2}} {(x - a)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.18.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{x + {(x - a)}^{1} \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.19

Simplifique ${(x - a)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{x + (x - a) \cdot 2}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.20

Mova $2$ para a esquerda de $x - a$ .

$\frac{x + 2 \cdot (x - a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.21.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x + 2 x + 2 (- a)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.21.2.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x + 2 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.2.2

Some $x$ e $2 x$ .

$\frac{3 x - 2 a}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.3

Reordene os termos.

$\frac{- 2 a + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.4

Fatore $- 1$ de $- 2 a$ .

$\frac{- (2 a) + 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.5

Fatore $- 1$ de $3 x$ .

$\frac{- (2 a) - (- 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.6

Fatore $- 1$ de $- (2 a) - (- 3 x)$ .

$\frac{- (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.7

Reescreva $- (2 a - 3 x)$ como $- 1 (2 a - 3 x)$ .

$\frac{- 1 (2 a - 3 x)}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.1.21.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 a - 3 x}{2 {(x - a)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 a - 3 x = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Subtraia $2 a$ dos dois lados da equação.

$- 3 x = - 2 a$

Etapa 2.3.2

Divida cada termo em $- 3 x = - 2 a$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Divida cada termo em $- 3 x = - 2 a$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Etapa 2.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 x}{- 3} = \frac{- 2 a}{- 3}$

Etapa 2.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2 a}{- 3}$

Etapa 2.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{2 a}{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $x \sqrt{x - a}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie em $x = \frac{2 a}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $\frac{2 a}{3}$ por $x$ .

$(\frac{2 a}{3}) \sqrt{(\frac{2 a}{3}) - a}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para escrever $- a$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} - a \cdot \frac{3}{3}}$

Etapa 4.1.2.2

Combine $- a$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a}{3} + \frac{- a \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{2 a - a \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.2.4

Reescreva $\frac{2 a - a \cdot 3}{3}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1

Fatore $a$ de $2 a - a \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.4.1.1

Fatore $a$ de $2 a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 - a \cdot 3}{3}}$

Etapa 4.1.2.4.1.2

Fatore $a$ de $- a \cdot 3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)}{3}}$

Etapa 4.1.2.4.1.3

Fatore $a$ de $a \cdot 2 + a (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 1 \cdot 3)}{3}}$

Etapa 4.1.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a (2 - 3)}{3}}$

Etapa 4.1.2.4.3

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{a \cdot - 1}{3}}$

Etapa 4.1.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $a$ .

$\frac{2 a}{3} \sqrt{\frac{- 1 \cdot a}{3}}$

Etapa 4.1.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2 a}{3} \sqrt{- \frac{a}{3}}$

Etapa 4.1.2.6

Combine $\frac{2 a}{3}$ e $\sqrt{- \frac{a}{3}}$ .

$\frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3}$

Etapa 4.2

Liste todos os pontos.

$(\frac{2 a}{3}, \frac{2 a \sqrt{- \frac{a}{3}}}{3})$

Etapa 5