Cálculo Exemplos

$2 x \sqrt{x^{2} + 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 7}$ como ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 7$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 7$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (x (\frac{1}{2} {(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$2 (x (\frac{{(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.3

Mova ${(x^{2} + 7)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (x (\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 7] + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [7]) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 11

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12

Combine frações.

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Etapa 12.1

Some $2 x$ e $0$ .

$2 (\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} (2 x) + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.2

Combine $2$ e $\frac{x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} x + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 12.3

Combine $\frac{2 x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$2 (\frac{2 x \cdot x}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x)}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 14

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (\frac{2 (x^{1} x^{1})}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 15

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (\frac{2 x^{1 + 1}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 16.1

Some $1$ e $1$ .

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16.2

Cancele o fator comum.

$2 (\frac{2 x^{2}}{2 {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 16.3

Reescreva a expressão.

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 17

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 18

Multiplique ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 19

Para escrever ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$2 (\frac{x^{2}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 20

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}} {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Multiplique ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 21.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.3

Some $1$ e $1$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{\frac{2}{2}}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21.4

Divida $2$ por $2$ .

$2 \frac{x^{2} + {(x^{2} + 7)}^{1}}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Simplifique ${(x^{2} + 7)}^{1}$ .

$2 \frac{x^{2} + x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Some $x^{2}$ e $x^{2}$ .

$2 \frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 24

Combine $2$ e $\frac{2 x^{2} + 7}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} + 7)}{{(x^{2} + 7)}^{\frac{1}{2}}}$