Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{6} + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{6} + 4 x^{2}$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $9 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + 4 x^{2}}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (9 x^{4}) + x^{2} \cdot 4$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} (9 x^{4} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.2

Reescreva $9 x^{4}$ como ${(3 x^{2})}^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} ({(3 x^{2})}^{2} + 4)}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{{(3 x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.4

Aplique a regra do produto a $3 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{3^{2} {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 {(x^{2})}^{2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.6

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{2 \cdot 2} + 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3} - 1}$

Etapa 2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{3}$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $x \sqrt{9 x^{4} + 4}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x (\sqrt{9 x^{4} + 4})}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x \sqrt{9 x^{4} + 4}}{x \cdot x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 x^{4} + 4}}{x^{2}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $\sqrt{x^{4}} = x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5

Avalie o limite.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x^{4}$ .

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{9 x^{4}}{x^{4}} + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.2.2

Divida $9$ por $1$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.6

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 5.7

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{4}}}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{4}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{lim_{x \to \infty} 1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 7.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 7.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Etapa 8

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1}}{1 - 0}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Divida $\sqrt{9 + 4 \cdot 0}$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{9 + 4 \cdot 0}}{1 - 0}$

Etapa 9.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.2.1

Multiplique $4$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{9 + 0}}{1 - 0}$

Etapa 9.2.2

Some $9$ e $0$ .

$\frac{\sqrt{9}}{1 - 0}$

Etapa 9.2.3

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{3^{2}}}{1 - 0}$

Etapa 9.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3}{1 - 0}$

Etapa 9.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{3}{1 + 0}$

Etapa 9.3.2

Some $1$ e $0$ .

$\frac{3}{1}$

Etapa 9.4

Divida $3$ por $1$ .

$3$