Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{8 x \cot (2 x)}$

Etapa 1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1

Mova o termo $\frac{1}{8}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x)}{x \cot (2 x)}$

Etapa 1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Etapa 1.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Etapa 1.4

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Etapa 2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x \cot (2 x)}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} x \cot (2 x)$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ - 0.1 & 0.49331548 \\ - 0.01 & 0.49993333 \\ - 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $x \cot (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $0.5$ .

$0.5$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} x \cot (2 x)$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $x \cot (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & x \cot (2 x) \\ 0.1 & 0.49331548 \\ 0.01 & 0.49993333 \\ 0.001 & 0.49999933 \end{array}$

Etapa 8

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $0.5$ . Portanto, o limite de $x \cot (2 x)$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita é $0.5$ .

$\frac{1}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $0.5$ .

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Etapa 9.1.1

Fatore $0.5$ de $1$ .

$\frac{0.5 (2)}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0.5 \cdot 2}{8} \cdot \frac{\cos (5 \cdot 0)}{0.5}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{8} \cos (5 \cdot 0)$

Etapa 9.2

Multiplique $5$ por $0$ .

$\frac{2}{8} \cos (0)$

Etapa 9.3

Combine $\frac{2}{8}$ e $\cos (0)$ .

$\frac{2 \cos (0)}{8}$

Etapa 9.4

Cancele o fator comum de $2$ e $8$ .

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Etapa 9.4.1

Fatore $2$ de $2 \cos (0)$ .

$\frac{2 (\cos (0))}{8}$

Etapa 9.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.4.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Etapa 9.4.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cos (0)}{2 \cdot 4}$

Etapa 9.4.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\cos (0)}{4}$

Etapa 9.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{4}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{4}$

Forma decimal:

$0.25$