Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{2 + x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{4} (2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4

Expanda $(2 + x^{2}) x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.4

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}} d x$

Etapa 4.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{4 - 1}{2}} d x$

Etapa 4.6.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} 2 x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{4} x^{- \frac{1}{2}} d x + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$2 (2 x^{\frac{1}{2}}]_{1}^{4}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 9

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1

Avalie $2 x^{\frac{1}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$2 ((2 \cdot 4^{\frac{1}{2}}) - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 9.2

Avalie $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$2 (2 \cdot 4^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$2 (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.3.1

Cancele o fator comum.

$2 (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{2})} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.3.2

Reescreva a expressão.

$2 (2 \cdot 2^{1} - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.4

Avalie o expoente.

$2 (2 \cdot 2 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (4 - 2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (4 - 2 \cdot 1) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.7

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 (4 - 2) + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.8

Subtraia $2$ de $4$ .

$2 \cdot 2 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.9

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 4^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.10

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot {(2^{2})}^{\frac{5}{2}} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.11

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.12

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.3.12.1

Cancele o fator comum.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{2 (\frac{5}{2})} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.12.2

Reescreva a expressão.

$4 + \frac{2}{5} \cdot 2^{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.13

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$4 + \frac{2}{5} \cdot 32 - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.14

Combine $\frac{2}{5}$ e $32$ .

$4 + \frac{2 \cdot 32}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.15

Multiplique $2$ por $32$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1^{\frac{5}{2}}$

Etapa 9.3.16

Um elevado a qualquer potência é um.

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5} \cdot 1$

Etapa 9.3.17

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$4 + \frac{64}{5} - \frac{2}{5}$

Etapa 9.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 + \frac{64 - 2}{5}$

Etapa 9.3.19

Subtraia $2$ de $64$ .

$4 + \frac{62}{5}$

Etapa 9.3.20

Para escrever $4$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$4 \cdot \frac{5}{5} + \frac{62}{5}$

Etapa 9.3.21

Combine $4$ e $\frac{5}{5}$ .

$\frac{4 \cdot 5}{5} + \frac{62}{5}$

Etapa 9.3.22

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 \cdot 5 + 62}{5}$

Etapa 9.3.23

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.3.23.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 + 62}{5}$

Etapa 9.3.23.2

Some $20$ e $62$ .

$\frac{82}{5}$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{82}{5}$

Forma decimal:

$16.4$

Forma de número misto:

$16 \frac{2}{5}$

Etapa 11