Cálculo Exemplos

${(\frac{x}{x + 1})}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = \frac{x}{x + 1}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{5}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$5 u^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{x + 1}$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{d}{d x} [\frac{x}{x + 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x + 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{(x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.2

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6

Simplifique os termos.

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Etapa 3.6.1

Some $1$ e $0$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{x + 1 - x}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.3

Subtraia $x$ de $x$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{0 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.4

Some $0$ e $1$ .

$5 {(\frac{x}{x + 1})}^{4} \frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$

Etapa 3.6.5

Combine $\frac{1}{{(x + 1)}^{2}}$ e $5$ .

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} {(\frac{x}{x + 1})}^{4}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{x + 1}$ .

$\frac{5}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $\frac{5}{{(x + 1)}^{2}}$ por $\frac{x^{4}}{{(x + 1)}^{4}}$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2} {(x + 1)}^{4}}$

Etapa 4.2.2

Multiplique ${(x + 1)}^{2}$ por ${(x + 1)}^{4}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{2 + 4}}$

Etapa 4.2.2.2

Some $2$ e $4$ .

$\frac{5 x^{4}}{{(x + 1)}^{6}}$