Cálculo Exemplos

$f (x) = {\begin{cases} x^{2} + 1 & x < 1 \\ 2 & x = 1 \\ 7 - 5 x & x > 1 \end{cases}$

Etapa 1

Encontre o limite de $x^{2} + 1$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da esquerda.

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Etapa 1.1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + 1$

Etapa 1.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$lim_{x \to 1^{-}} x^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Etapa 1.2.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + lim_{x \to 1^{-}} 1$

Etapa 1.2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

${(lim_{x \to 1^{-}} x)}^{2} + 1$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$1^{2} + 1$

Etapa 1.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$1 + 1$

Etapa 1.4.2

Some $1$ e $1$ .

$2$

Etapa 2

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$2$

Etapa 3

Como o limite de $x^{2} + 1$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da esquerda é igual ao valor da função em $x = 1$ , a função é contínua em $x = 1$ .

Contínuo

Etapa 4

Encontre o limite de $7 - 5 x$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da direita.

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Etapa 4.1

Altere o valor crítico bilateral para valor crítico direito.

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - 5 x$

Etapa 4.2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$lim_{x \to 1^{+}} 7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Etapa 4.2.2

Avalie o limite de $7$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$7 - lim_{x \to 1^{+}} 5 x$

Etapa 4.2.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$7 - 5 lim_{x \to 1^{+}} x$

Etapa 4.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$7 - 5 \cdot 1$

Etapa 4.4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$7 - 5$

Etapa 4.4.2

Subtraia $5$ de $7$ .

$2$

Etapa 5

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$2$

Etapa 6

Como o limite de $7 - 5 x$ à medida que $x$ se aproxima de $1$ a partir da direita é igual ao valor da função em $x = 1$ , a função é contínua em $x = 1$ .

Contínuo

Etapa 7