Matemática básica Exemplos

$11 = k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$

Etapa 1

Reescreva a equação como $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$ .

$k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1 = 11$

Etapa 2

Simplifique $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

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Etapa 2.1

Combine os termos opostos em $k^{2} - 1 + k^{4} - 2 k^{2} + 1 - 1$ .

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Etapa 2.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} + 0 - 1 = 11$

Etapa 2.1.2

Some $k^{2} + k^{4} - 2 k^{2}$ e $0$ .

$k^{2} + k^{4} - 2 k^{2} - 1 = 11$

Etapa 2.2

Subtraia $2 k^{2}$ de $k^{2}$ .

$k^{4} - k^{2} - 1 = 11$

Etapa 3

Substitua $u = k^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$u^{2} - u - 1 = 11$

$u = k^{2}$

Etapa 4

Subtraia $11$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - u - 1 - 11 = 0$

Etapa 5

Subtraia $11$ de $- 1$ .

$u^{2} - u - 12 = 0$

Etapa 6

Fatore $u^{2} - u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3$

Etapa 6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 4) (u + 3) = 0$

Etapa 7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

$u + 3 = 0$

Etapa 8

Defina $u - 4$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 8.1

Defina $u - 4$ como igual a $0$ .

$u - 4 = 0$

Etapa 8.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$u = 4$

Etapa 9

Defina $u + 3$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 9.1

Defina $u + 3$ como igual a $0$ .

$u + 3 = 0$

Etapa 9.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$u = - 3$

Etapa 10

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 4) (u + 3) = 0$ verdadeiro.

$u = 4, - 3$

Etapa 11

Substitua o valor real de $u = k^{2}$ de volta na equação resolvida.

$k^{2} = 4$

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Etapa 12

Resolva a primeira equação para $k$ .

$k^{2} = 4$

Etapa 13

Resolva a equação para $k$ .

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Etapa 13.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{4}$

Etapa 13.2

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 13.2.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$k = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 13.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$k = \pm 2$

Etapa 13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 13.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = 2$

Etapa 13.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - 2$

Etapa 13.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = 2, - 2$

Etapa 14

Resolva a segunda equação para $k$ .

${(k^{2})}^{1} = - 3$

Etapa 15

Resolva a equação para $k$ .

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Etapa 15.1

Remova os parênteses.

$k^{2} = - 3$

Etapa 15.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$k = \pm \sqrt{- 3}$

Etapa 15.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Etapa 15.3.1

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$k = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Etapa 15.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$k = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Etapa 15.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$k = \pm i \sqrt{3}$

Etapa 15.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 15.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$k = i \sqrt{3}$

Etapa 15.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$k = - i \sqrt{3}$

Etapa 15.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$k = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Etapa 16

A solução para $k^{4} - k^{2} - 1 = 11$ é $k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$ .

$k = 2, - 2, i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$