Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} - 1 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 1$

Etapa 3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Etapa 4

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm 1$

Etapa 5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 7

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 8

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 9

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 9.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 10

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 1, - 1$

$x = i, - i$

Etapa 11

Consolide as soluções.

$x = 1, - 1$

Etapa 12

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 1$

$- 1 < x < 1$

$x > 1$

Etapa 13

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 13.1

Teste um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 4$

Etapa 13.1.2

Substitua $x$ por $- 4$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 4)}^{2} - 1}{{(- 4)}^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 13.1.3

O lado esquerdo $0.88235294$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.2

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 13.2.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{{(0)}^{2} - 1}{{(0)}^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 13.2.3

O lado esquerdo $- 1$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 13.3

Teste um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 13.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 13.3.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} - 1}{{(4)}^{2} + 1} \leq 0$

Etapa 13.3.3

O lado esquerdo $0.88235294$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 13.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

$x < - 1$ Falso

$- 1 < x < 1$ Verdadeiro

$x > 1$ Falso

Etapa 14

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$- 1 \leq x \leq 1$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$- 1 \leq x \leq 1$

Notação de intervalo:

$[- 1, 1]$

Etapa 16