Álgebra Exemplos

$f (x) = \sqrt{x + 3}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ avaliando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Deixe $u = x + 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Deixe $u = x + 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 2.1.4

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 2.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 3

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 3$ .

$\frac{2}{3} {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 6

A função $F$ quando originada da integral da derivada da função. Isso é válido pelo teorema fundamental do cálculo.

$F (x) = \frac{2}{3} \cdot {(x + 3)}^{\frac{3}{2}} + C$