Álgebra Exemplos

$y = \frac{e^{x^{8}}}{2}$

Etapa 1

Alterne as variáveis.

$x = \frac{e^{y^{8}}}{2}$

Etapa 2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva a equação como $\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$ .

$\frac{e^{y^{8}}}{2} = x$

Etapa 2.2

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Etapa 2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{e^{y^{8}}}{2} = 2 x$

Etapa 2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{y^{8}} = 2 x$

Etapa 2.4

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{y^{8}}) = \ln (2 x)$

Etapa 2.5

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Expanda $\ln (e^{y^{8}})$ movendo $y^{8}$ para fora do logaritmo.

$y^{8} \ln (e) = \ln (2 x)$

Etapa 2.5.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$y^{8} \cdot 1 = \ln (2 x)$

Etapa 2.5.3

Multiplique $y^{8}$ por $1$ .

$y^{8} = \ln (2 x)$

Etapa 2.6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 2.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 2.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

$y = - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 3

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 4

Verifique se $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

O domínio do inverso é o intervalo da função original e vice-versa. Encontre o domínio e o intervalo de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ e $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ e os compare.

Etapa 4.2

Encontre o intervalo de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

Notação de intervalo:

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 4.3

Encontre o domínio de $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Defina o argumento em $\ln (2 x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x > 0$

Etapa 4.3.2

Divida cada termo em $2 x > 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Divida cada termo em $2 x > 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x > 0$

Etapa 4.3.3

Defina o radicando em $\sqrt[8]{\ln (2 x)}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$\ln (2 x) \geq 0$

Etapa 4.3.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\ln (2 x) = 0$

Etapa 4.3.4.2

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.1

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (2 x)} = e^{0}$

Etapa 4.3.4.2.2

Reescreva $\ln (2 x) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = 2 x$

Etapa 4.3.4.2.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.3.1

Reescreva a equação como $2 x = e^{0}$ .

$2 x = e^{0}$

Etapa 4.3.4.2.3.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 x = 1$

Etapa 4.3.4.2.3.3

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.3.3.1

Divida cada termo em $2 x = 1$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4.2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4.2.3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.4.3

Encontre o domínio de $\ln (2 x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.1

Defina o argumento em $\ln (2 x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x > 0$

Etapa 4.3.4.3.2

Divida cada termo em $2 x > 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.1

Divida cada termo em $2 x > 0$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.4.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.4.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x > \frac{0}{2}$

Etapa 4.3.4.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.4.3.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$x > 0$

Etapa 4.3.4.3.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 4.3.4.4

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x \geq \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[\frac{1}{2}, \infty)$

Etapa 4.4

Encontre o domínio de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Etapa 4.5

Como o domínio de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ é o intervalo de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , e o intervalo de $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ é o domínio de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ , então, $f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$ é o inverso de $f (x) = \frac{e^{x^{8}}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[8]{\ln (2 x)}, - \sqrt[8]{\ln (2 x)}$

Etapa 5