Álgebra Exemplos

$\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}} = 3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{162 x^{c} y^{5}}$ como ${(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2.2

Expanda $\ln ({(162 x^{c} y^{5})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} \ln (162 x^{c} y^{5}) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2.3

Reescreva $\ln (162 x^{c} y^{5})$ como $\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162 x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2.4

Reescreva $\ln (162 x^{c})$ como $\ln (162) + \ln (x^{c})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + \ln (x^{c}) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2.5

Expanda $\ln (x^{c})$ movendo $c$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + \ln (y^{5})) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 2.6

Expanda $\ln (y^{5})$ movendo $5$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$

Etapa 3

Expanda o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $\ln (3 x^{2} y (\sqrt[3]{6 y^{d}}))$ como $\ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2} y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Etapa 3.2

Reescreva $\ln (3 x^{2} y)$ como $\ln (3 x^{2}) + \ln (y)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3 x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Etapa 3.3

Reescreva $\ln (3 x^{2})$ como $\ln (3) + \ln (x^{2})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln (\sqrt[3]{6 y^{d}})$

Etapa 3.4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{6 y^{d}}$ como ${(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + \ln (x^{2}) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3.5

Expanda $\ln (x^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 3.6

Expanda $\ln ({(6 y^{d})}^{\frac{1}{3}})$ movendo $\frac{1}{3}$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} \ln (6 y^{d})$

Etapa 3.7

Reescreva $\ln (6 y^{d})$ como $\ln (6) + \ln (y^{d})$ .

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + \ln (y^{d}))$

Etapa 3.8

Expanda $\ln (y^{d})$ movendo $d$ para fora do logaritmo.

$\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique $\frac{1}{3} (\ln (162) + c \ln (x) + 5 \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{3} \ln (162) + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (162)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{1}{3} (c \ln (x)) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $\frac{1}{3} (c \ln (x))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Combine $c$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c}{3} \ln (x) + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $\frac{c}{3}$ e $\ln (x)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{1}{3} (5 \ln (y)) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{3} (5 \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Combine $5$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5}{3} \ln (y) = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 4.1.2.3.2

Combine $\frac{5}{3}$ e $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Simplifique $\ln (3) + 2 \ln (x) + \ln (y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} (\ln (6) + d \ln (y))$

Etapa 5.1.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{1}{3} \ln (6) + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Etapa 5.1.2.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $\ln (6)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{1}{3} (d \ln (y))$

Etapa 5.1.2.3

Multiplique $\frac{1}{3} (d \ln (y))$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.3.1

Combine $d$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d}{3} \ln (y)$

Etapa 5.1.2.3.2

Combine $\frac{d}{3}$ e $\ln (y)$ .

$\frac{\ln (162)}{3} + \frac{c \ln (x)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Etapa 6

Reordene $\frac{\ln (162)}{3}$ e $\frac{c \ln (x)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} + \frac{d \ln (y)}{3}$

Etapa 7

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Mova $\frac{\ln (6)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{d \ln (y)}{3} + \frac{\ln (6)}{3}$

Etapa 7.2

Mova $\ln (3 y)$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = 2 \ln (x) + \frac{d \ln (y)}{3} + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Etapa 7.3

Reordene $2 \ln (x)$ e $\frac{d \ln (y)}{3}$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$

Etapa 8

Multiplique cada termo em $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ por $3$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique cada termo em $\frac{c \ln (x)}{3} + \frac{\ln (162)}{3} + \frac{5 \ln (y)}{3} = \frac{d \ln (y)}{3} + 2 \ln (x) + \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3}$ por $3$ .

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{c \ln (x)}{3} \cdot 3 + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$c \ln (x) + \frac{\ln (162)}{3} \cdot 3 + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1.3.1

Cancele o fator comum.

$c \ln (x) + \ln (162) + \frac{5 \ln (y)}{3} \cdot 3 = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.2.1.3.2

Reescreva a expressão.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = \frac{d \ln (y)}{3} \cdot 3 + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 2 \ln (x) \cdot 3 + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3.1.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + \ln (3 y) \cdot 3 + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3.1.3

Mova $3$ para a esquerda de $\ln (3 y)$ .

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \cdot \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \frac{\ln (6)}{3} \cdot 3$

Etapa 8.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) = d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y) + \ln (6)$

Etapa 9

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$c \ln (x) + \ln (162) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) - \ln (6) = 0$

Etapa 10

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$c \ln (x) + \ln (\frac{162}{6}) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Etapa 11

Divida $162$ por $6$ .

$c \ln (x) + \ln (27) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = 0$

Etapa 12

Mova todos os termos que não contêm $c$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Subtraia $\ln (27)$ dos dois lados da equação.

$c \ln (x) + 5 \ln (y) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27)$

Etapa 12.2

Subtraia $5 \ln (y)$ dos dois lados da equação.

$c \ln (x) - d \ln (y) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y)$

Etapa 12.3

Some $d \ln (y)$ aos dois lados da equação.

$c \ln (x) - 6 \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y)$

Etapa 12.4

Some $6 \ln (x)$ aos dois lados da equação.

$c \ln (x) - 3 \ln (3 y) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x)$

Etapa 12.5

Some $3 \ln (3 y)$ aos dois lados da equação.

$c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$

Etapa 13

Divida cada termo em $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ por $\ln (x)$ e simplifique.

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Etapa 13.1

Divida cada termo em $c \ln (x) = - \ln (27) - 5 \ln (y) + d \ln (y) + 6 \ln (x) + 3 \ln (3 y)$ por $\ln (x)$ .

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{c \ln (x)}{\ln (x)} = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.2.1.2

Divida $c$ por $1$ .

$c = \frac{- \ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} + \frac{- 5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.3.1.3

Cancele o fator comum de $\ln (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1.3.1

Cancele o fator comum.

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{6 \ln (x)}{\ln (x)} + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$

Etapa 13.3.1.3.2

Divida $6$ por $1$ .

$c = - \frac{\ln (27)}{\ln (x)} - \frac{5 \ln (y)}{\ln (x)} + \frac{d \ln (y)}{\ln (x)} + 6 + \frac{3 \ln (3 y)}{\ln (x)}$