Álgebra Exemplos

$f (x) = - 9 \sqrt{x - 8} + 5$ , $x \geq 8$

Etapa 1

Encontre o intervalo da função determinada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

$(- \infty, 5]$

Etapa 1.2

Converta $(- \infty, 5]$ em uma desigualdade.

$y \leq 5$

Etapa 2

Encontre o inverso.

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Etapa 2.1

Alterne as variáveis.

$x = - 9 \sqrt{y - 8} + 5$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$ .

$- 9 \sqrt{y - 8} + 5 = x$

Etapa 2.2.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 9 \sqrt{y - 8} = x - 5$

Etapa 2.2.3

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${(- 9 \sqrt{y - 8})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 2.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y - 8}$ como ${(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.4.2.1

Simplifique ${(- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.2.4.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 9 {(y - 8)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(- 9)}^{2} {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.2

Eleve $- 9$ à potência de $2$ .

$81 {({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(y - 8)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.4.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$81 {(y - 8)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$81 {(y - 8)}^{1} = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.4

Simplifique.

$81 (y - 8) = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$81 y + 81 \cdot - 8 = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.2.1.6

Multiplique $81$ por $- 8$ .

$81 y - 648 = {(x - 5)}^{2}$

Etapa 2.2.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.4.3.1

Simplifique ${(x - 5)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.1

Reescreva ${(x - 5)}^{2}$ como $(x - 5) (x - 5)$ .

$81 y - 648 = (x - 5) (x - 5)$

Etapa 2.2.4.3.1.2

Expanda $(x - 5) (x - 5)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$81 y - 648 = x (x - 5) - 5 (x - 5)$

Etapa 2.2.4.3.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 (x - 5)$

Etapa 2.2.4.3.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$81 y - 648 = x \cdot x + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Etapa 2.2.4.3.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.2.4.3.1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.3.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} + x \cdot - 5 - 5 x - 5 \cdot - 5$

Etapa 2.2.4.3.1.3.1.2

Mova $- 5$ para a esquerda de $x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 \cdot x - 5 x - 5 \cdot - 5$

Etapa 2.2.4.3.1.3.1.3

Multiplique $- 5$ por $- 5$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 5 x - 5 x + 25$

Etapa 2.2.4.3.1.3.2

Subtraia $5 x$ de $- 5 x$ .

$81 y - 648 = x^{2} - 10 x + 25$

Etapa 2.2.5

Resolva $y$ .

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Etapa 2.2.5.1

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.2.5.1.1

Some $648$ aos dois lados da equação.

$81 y = x^{2} - 10 x + 25 + 648$

Etapa 2.2.5.1.2

Some $25$ e $648$ .

$81 y = x^{2} - 10 x + 673$

Etapa 2.2.5.2

Divida cada termo em $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ por $81$ e simplifique.

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Etapa 2.2.5.2.1

Divida cada termo em $81 y = x^{2} - 10 x + 673$ por $81$ .

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Etapa 2.2.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.5.2.2.1

Cancele o fator comum de $81$ .

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Etapa 2.2.5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{81 y}{81} = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Etapa 2.2.5.2.2.1.2

Divida $y$ por $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{81} + \frac{- 10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Etapa 2.2.5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.5.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Etapa 2.3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}$

Etapa 3

Encontre o inverso usando o domínio e o intervalo da função original.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{81} - \frac{10 x}{81} + \frac{673}{81}, x \leq 5$

Etapa 4