Álgebra Exemplos

$\frac{1}{2 x + 5} - 5 < 0$

Etapa 1

Simplifique $\frac{1}{2 x + 5} - 5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para escrever $- 5$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{1}{2 x + 5} - 5 \cdot \frac{2 x + 5}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $- 5$ e $\frac{2 x + 5}{2 x + 5}$ .

$\frac{1}{2 x + 5} + \frac{- 5 (2 x + 5)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1 - 5 (2 x + 5)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1 - 5 (2 x) - 5 \cdot 5}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.2

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$\frac{1 - 10 x - 5 \cdot 5}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{1 - 10 x - 25}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.4

Subtraia $25$ de $1$ .

$\frac{- 10 x - 24}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.5

Fatore $2$ de $- 10 x - 24$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Fatore $2$ de $- 10 x$ .

$\frac{2 (- 5 x) - 24}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.5.2

Fatore $2$ de $- 24$ .

$\frac{2 (- 5 x) + 2 (- 12)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.3.5.3

Fatore $2$ de $2 (- 5 x) + 2 (- 12)$ .

$\frac{2 (- 5 x - 12)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.4

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $- 1$ de $- 5 x$ .

$\frac{2 (- (5 x) - 12)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.4.2

Reescreva $- 12$ como $- 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (5 x) - 1 (12))}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.4.3

Fatore $- 1$ de $- (5 x) - 1 (12)$ .

$\frac{2 (- (5 x + 12))}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.4.4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Reescreva $- (5 x + 12)$ como $- 1 (5 x + 12)$ .

$\frac{2 (- 1 (5 x + 12))}{2 x + 5} < 0$

Etapa 1.4.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (5 x + 12)}{2 x + 5} < 0$

Etapa 2

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$5 x + 12 = 0$

$2 x + 5 = 0$

Etapa 3

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 12$

Etapa 4

Divida cada termo em $5 x = - 12$ por $5$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $5 x = - 12$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 12}{5}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 12}{5}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{12}{5}$

Etapa 5

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 6

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 7

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = - \frac{12}{5}$

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 8

Consolide as soluções.

$x = - \frac{12}{5}, - \frac{5}{2}$

Etapa 9

Encontre o domínio de $\frac{1}{2 x + 5} - 5$ .

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Etapa 9.1

Defina o denominador em $\frac{1}{2 x + 5}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$2 x + 5 = 0$

Etapa 9.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$2 x = - 5$

Etapa 9.2.2

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = - 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 9.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 5}{2}$

Etapa 9.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 5}{2}$

Etapa 9.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{5}{2}$

Etapa 9.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{5}{2}, \infty)$

Etapa 10

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - \frac{5}{2}$

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{12}{5}$

$x > - \frac{12}{5}$

Etapa 11

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 11.1

Teste um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - \frac{5}{2}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 5$

Etapa 11.1.2

Substitua $x$ por $- 5$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (- 5) + 5} - 5 < 0$

Etapa 11.1.3

O lado esquerdo $- 5.2$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.2

Teste um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{12}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 11.2.1

Escolha um valor no intervalo $- \frac{5}{2} < x < - \frac{12}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2.45$

Etapa 11.2.2

Substitua $x$ por $- 2.45$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (- 2.45) + 5} - 5 < 0$

Etapa 11.2.3

O lado esquerdo $5$ não é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 11.3

Teste um valor no intervalo $x > - \frac{12}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > - \frac{12}{5}$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 11.3.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{1}{2 (0) + 5} - 5 < 0$

Etapa 11.3.3

O lado esquerdo $- 4.8$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 11.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{12}{5}$ Falso

$x > - \frac{12}{5}$ Verdadeiro

$x < - \frac{5}{2}$ Verdadeiro

$- \frac{5}{2} < x < - \frac{12}{5}$ Falso

$x > - \frac{12}{5}$ Verdadeiro

Etapa 12

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - \frac{5}{2}$ ou $x > - \frac{12}{5}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - \frac{5}{2} or x > - \frac{12}{5}$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - \frac{5}{2}) \cup (- \frac{12}{5}, \infty)$

Etapa 14