Álgebra Exemplos

$\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 1

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x^{2} = 0$

${(x + 1)}^{3} = 0$

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Etapa 2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 3

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 3.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 5

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 8

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 9

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- x^{2} = 1$

Etapa 10

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 10.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 10.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 11

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 12

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 13

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 13.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 13.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 14

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 0$

$x = - 1$

$x = 7$

$x = - 3$

$x = i, - i$

Etapa 15

Consolide as soluções.

$x = 0, - 1, 7, - 3$

Etapa 16

Encontre o domínio de $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ .

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Etapa 16.1

Defina o denominador em $\frac{x^{2} {(x + 1)}^{3}}{(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$

Etapa 16.2

Resolva $x$ .

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Etapa 16.2.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

$- x^{2} - 1 = 0$

Etapa 16.2.2

Defina $x - 7$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.2.2.1

Defina $x - 7$ como igual a $0$ .

$x - 7 = 0$

Etapa 16.2.2.2

Some $7$ aos dois lados da equação.

$x = 7$

Etapa 16.2.3

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.2.3.1

Defina ${(x + 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Etapa 16.2.3.2

Resolva ${(x + 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.3.2.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 16.2.3.2.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 16.2.4

Defina $- x^{2} - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 16.2.4.1

Defina $- x^{2} - 1$ como igual a $0$ .

$- x^{2} - 1 = 0$

Etapa 16.2.4.2

Resolva $- x^{2} - 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- x^{2} = 1$

Etapa 16.2.4.2.2

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.2.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 16.2.4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 16.2.4.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 16.2.4.2.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 16.2.4.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.2.4.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$x^{2} = - 1$

Etapa 16.2.4.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 16.2.4.2.4

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 16.2.4.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 16.2.4.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 16.2.4.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 16.2.4.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 16.2.5

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 7) {(x + 3)}^{2} (- x^{2} - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 7, - 3, i, - i$

Etapa 16.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 7) \cup (7, \infty)$

Etapa 17

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < - 3$

$- 3 < x < - 1$

$- 1 < x < 0$

$0 < x < 7$

$x > 7$

Etapa 18

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 18.1

Teste um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 18.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < - 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 6$

Etapa 18.1.2

Substitua $x$ por $- 6$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 6)}^{2} {((- 6) + 1)}^{3}}{((- 6) - 7) {((- 6) + 3)}^{2} (- {(- 6)}^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 18.1.3

O lado esquerdo $- 1.\overline{039501}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 18.2

Teste um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 18.2.1

Escolha um valor no intervalo $- 3 < x < - 1$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 18.2.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 2)}^{2} {((- 2) + 1)}^{3}}{((- 2) - 7) {((- 2) + 3)}^{2} (- {(- 2)}^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 18.2.3

O lado esquerdo $- 0.0\overline{8}$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 18.3

Teste um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 18.3.1

Escolha um valor no intervalo $- 1 < x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 0.5$

Etapa 18.3.2

Substitua $x$ por $- 0.5$ na desigualdade original.

$\frac{{(- 0.5)}^{2} {((- 0.5) + 1)}^{3}}{((- 0.5) - 7) {((- 0.5) + 3)}^{2} (- {(- 0.5)}^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 18.3.3

O lado esquerdo $0.0005\overline{3}$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 18.4

Teste um valor no intervalo $0 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 18.4.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 4$

Etapa 18.4.2

Substitua $x$ por $4$ na desigualdade original.

$\frac{{(4)}^{2} {((4) + 1)}^{3}}{((4) - 7) {((4) + 3)}^{2} (- {(4)}^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 18.4.3

O lado esquerdo $0.80032012$ é maior do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

False

Etapa 18.5

Teste um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Escolha um valor no intervalo $x > 7$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 10$

Etapa 18.5.2

Substitua $x$ por $10$ na desigualdade original.

$\frac{{(10)}^{2} {((10) + 1)}^{3}}{((10) - 7) {((10) + 3)}^{2} (- {(10)}^{2} - 1)} \leq 0$

Etapa 18.5.3

O lado esquerdo $- 2.599254$ é menor do que o lado direito $0$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

True

Etapa 18.6

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

$x < - 3$ Verdadeiro

$- 3 < x < - 1$ Verdadeiro

$- 1 < x < 0$ Falso

$0 < x < 7$ Falso

$x > 7$ Verdadeiro

Etapa 19

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$x < - 3$ ou $- 3 < x \leq - 1$ ou $x > 7$ ou $x = 0$

Etapa 20

Combine os intervalos.

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Etapa 21

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Fórmula da desigualdade:

$x < - 3 or - 3 < x \leq - 1 or x = 0 or x > 7$

Notação de intervalo:

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, - 1] \cup [0, 0] \cup (7, \infty)$

Etapa 22