Álgebra Exemplos

$f (x) = - \frac{1}{2} \sqrt{x + 3}$ , $x \geq - 3$

Etapa 1

Encontre o intervalo da função determinada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

O intervalo é o conjunto de todos os valores $y$ válidos. Use o gráfico para encontrar o intervalo.

$(- \infty, 0]$

Etapa 1.2

Converta $(- \infty, 0]$ em uma desigualdade.

$y \leq 0$

Etapa 2

Encontre o inverso.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Alterne as variáveis.

$x = - \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}$

Etapa 2.2

Resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Reescreva a equação como $- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3} = x$

Etapa 2.2.2

Multiplique os dois lados da equação por $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3}) = - 2 x$

Etapa 2.2.3

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Simplifique $- 2 (- \frac{1}{2} \cdot \sqrt{y + 3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.1

Combine $\sqrt{y + 3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}) = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{y + 3}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.2.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.2.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{y + 3}}{2} = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.2.4

Reescreva a expressão.

$- - \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.3

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{y + 3} = - 2 x$

Etapa 2.2.3.1.3.2

Multiplique $\sqrt{y + 3}$ por $1$ .

$\sqrt{y + 3} = - 2 x$

Etapa 2.2.4

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{y + 3}}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y + 3}$ como ${(y + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Simplifique ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(y + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(y + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(y + 3)}^{1} = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5.2.1.2

Simplifique.

$y + 3 = {(- 2 x)}^{2}$

Etapa 2.2.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1

Simplifique ${(- 2 x)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.3.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 x$ .

$y + 3 = {(- 2)}^{2} x^{2}$

Etapa 2.2.5.3.1.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$y + 3 = 4 x^{2}$

Etapa 2.2.6

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$y = 4 x^{2} - 3$

Etapa 2.3

Substitua $y$ por $f^{- 1} (x)$ para mostrar a resposta final.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3$

Etapa 3

Encontre o inverso usando o domínio e o intervalo da função original.

$f^{- 1} (x) = 4 x^{2} - 3, x \leq 0$

Etapa 4