Álgebra Exemplos

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \div \frac{4 x^{2} + 2 x - 6}{x^{2} - 8 x + 16}$

Etapa 1

Para dividir por uma fração, multiplique por seu inverso.

$\frac{2 x^{2} + 5 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 3 = 6$ e cuja soma é $b = 5$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{2 x^{2} + 5 (x) + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2.1.2

Reescreva $5$ como $2$ mais $3$

$\frac{2 x^{2} + (2 + 3) x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x^{2} + 2 x + 3 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{(2 x^{2} + 2 x) + 3 x + 3}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x (x + 1) + 3 (x + 1)}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x + 1$ .

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{x^{2} - 3 x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 3

Fatore $x^{2} - 3 x - 4$ usando o método AC.

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Etapa 3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 4$ e cuja soma é $- 3$ .

$- 4, 1$

Etapa 3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 1) (2 x + 3)}{(x - 4) (x + 1)} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 16}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 5

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 5.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 8 x + 4^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 5.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Etapa 5.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 5.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 4$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{4 x^{2} + 2 x - 6}$

Etapa 6

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.1

Fatore $2$ de $4 x^{2} + 2 x - 6$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore $2$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 x - 6}$

Etapa 6.1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 (x) - 6}$

Etapa 6.1.3

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3}$

Etapa 6.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3}$

Etapa 6.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + x - 3)}$

Etapa 6.2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 6.2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 6.2.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + 1 x - 3)}$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva $1$ como $- 2$ mais $3$

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} + (- 2 + 3) x - 3)}$

Etapa 6.2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x^{2} - 2 x + 3 x - 3)}$

Etapa 6.2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 6.2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 ((2 x^{2} - 2 x) + 3 x - 3)}$

Etapa 6.2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (2 x (x - 1) + 3 (x - 1))}$

Etapa 6.2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $x - 1$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 ((x - 1) (2 x + 3))}$

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (x - 1) (2 x + 3)}$

Etapa 7

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $2 x + 3$ .

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Etapa 7.1.1

Fatore $2 x + 3$ de $2 (x - 1) (2 x + 3)$ .

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{(2 x + 3) (2 (x - 1))}$

Etapa 7.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x + 3}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{(2 x + 3) (2 (x - 1))}$

Etapa 7.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{{(x - 4)}^{2}}{2 (x - 1)}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $x - 4$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $x - 4$ de ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{2 (x - 1)}$

Etapa 7.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{x - 4} \cdot \frac{(x - 4) (x - 4)}{2 (x - 1)}$

Etapa 7.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{x - 4}{2 (x - 1)}$