Álgebra Exemplos

$f (x) = a {(x - h)}^{2} + k$

Etapa 1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(x - h)}^{2}$ como $(x - h) (x - h)$ .

$f (x) = a ((x - h) (x - h)) + k$

Etapa 1.2

Expanda $(x - h) (x - h)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = a (x (x - h) - h (x - h)) + k$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h (x - h)) + k$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = a (x \cdot x + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$f (x) = a (x^{2} + x (- h) - h x - h (- h)) + k$

Etapa 1.3.1.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - h (- h)) + k$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h \cdot h) + k$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $h$ por $h$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.4.1

Mova $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 (h \cdot h)) + k$

Etapa 1.3.1.4.2

Multiplique $h$ por $h$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x - 1 \cdot - 1 h^{2}) + k$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + 1 h^{2}) + k$

Etapa 1.3.1.6

Multiplique $h^{2}$ por $1$ .

$f (x) = a (x^{2} - x h - h x + h^{2}) + k$

Etapa 1.3.2

Subtraia $h x$ de $- x h$ .

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Etapa 1.3.2.1

Mova $x$ .

$f (x) = a (x^{2} - h x - h x + h^{2}) + k$

Etapa 1.3.2.2

Subtraia $h x$ de $- h x$ .

$f (x) = a (x^{2} - 2 h x + h^{2}) + k$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$f (x) = a x^{2} + a (- 2 h x) + a h^{2} + k$

Etapa 1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$f (x) = a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k$

Etapa 2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k = f (x)$

Etapa 3

Subtraia $f (x)$ dos dois lados da equação.

$a x^{2} - 2 a h x + a h^{2} + k - f (x) = 0$

Etapa 4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5

Substitua os valores $a = a$ , $b = - 2 a h$ e $c = a h^{2} + k - f (x)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a h)}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 (a h))}^{2} - 4 \cdot (a \cdot (a h^{2} + k - f (x)))}}{2 a}$

Etapa 6.1.2

Deixe $u = a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

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Etapa 6.1.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.1.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 2 a h$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2 a)}^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Etapa 6.1.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- 2 a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} a^{2} h^{2} - 4 \cdot u}}{2 a}$

Etapa 6.1.2.2

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a^{2} h^{2} - 4 u}}{2 a}$

Etapa 6.1.3

Fatore $4$ de $4 a^{2} h^{2} - 4 u$ .

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Etapa 6.1.3.1

Fatore $4$ de $4 a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) - 4 u}}{2 a}$

Etapa 6.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)}}{2 a}$

Etapa 6.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (a^{2} h^{2}) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - u)}}{2 a}$

Etapa 6.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $a \cdot (a h^{2} + k - f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot (a h^{2} + k - f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5

Simplifique.

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Etapa 6.1.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1.5.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a (a h^{2}) + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.1.2

Multiplique $a$ por $a$ somando os expoentes.

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Etapa 6.1.5.1.2.1

Mova $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a \cdot a h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.1.2.2

Multiplique $a$ por $a$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2} + a k + a (- f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - (a^{2} h^{2}) - (a k) - (a (- f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.1.4

Multiplique $- (a (- f (x)))$ .

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Etapa 6.1.5.1.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + 1 (a (f (x))))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.1.4.2

Multiplique $a$ por $1$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a^{2} h^{2} - a^{2} h^{2} - a k + a f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.2

Subtraia $a^{2} h^{2}$ de $a^{2} h^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (0 - a k + a f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.5.3

Subtraia $a k$ de $0$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (- a k + a f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.6

Fatore $a$ de $- a k + a f (x)$ .

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Etapa 6.1.6.1

Fatore $a$ de $- a k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.6.2

Fatore $a$ de $a f (x)$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k) + a (f (x)))}}{2 a}$

Etapa 6.1.6.3

Fatore $a$ de $a (- 1 k) + a (f (x))$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 (a (- 1 k + f (x)))}}{2 a}$

Etapa 6.1.7

Reescreva $- 1 k$ como $- k$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{4 a (- k + f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.8

Reescreva $4 a (- k + f (x))$ como $2^{2} (a (- k + f (x)))$ .

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Etapa 6.1.8.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} a (- k + f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.1.8.2

Adicione parênteses.

$x = \frac{2 a h \pm \sqrt{2^{2} (a (- k + f (x)))}}{2 a}$

Etapa 6.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$

Etapa 6.2

Simplifique $\frac{2 a h \pm 2 \sqrt{a (- k + f (x))}}{2 a}$ .

$x = \frac{a h \pm \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$

Etapa 7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{a h + \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}, \frac{a h - \sqrt{a (- k + f (x))}}{a}$