Álgebra Exemplos

$g (x) = - \frac{3}{2} {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Simplifique $- \frac{3}{2} {(x - 2)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Combine ${(x - 2)}^{2}$ e $\frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{{(x - 2)}^{2} \cdot 3}{2}$

Etapa 1.1.1.2

Mova $3$ para a esquerda de ${(x - 2)}^{2}$ .

$y = - \frac{3 {(x - 2)}^{2}}{2}$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$y = - \frac{3}{2} \cdot {(x - 2)}^{2}$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = - \frac{3}{2}$

$h = 2$

$k = 0$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é negativo, a parábola abre para baixo.

Abre para baixo

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(2, 0)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot (- \frac{3}{2})}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{- 1 (- 1)}{4 \cdot (- \frac{3}{2})}$

Etapa 1.5.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4 (\frac{3}{2})}$

Etapa 1.5.3.2

Combine $4$ e $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{1}{\frac{4 \cdot 3}{2}}$

Etapa 1.5.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.3.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$- \frac{1}{\frac{12}{2}}$

Etapa 1.5.3.3.2

Divida $12$ por $2$ .

$- \frac{1}{6}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(2, - \frac{1}{6})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 2$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{1}{6}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(2, 0)$

Foco: $(2, - \frac{1}{6})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = \frac{1}{6}$

Direção: abre para baixo

Vértice: $(2, 0)$

Foco: $(2, - \frac{1}{6})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = \frac{1}{6}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - \frac{3 {(0)}^{2}}{2} + 6 (0) - 6$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = - \frac{3 \cdot 0}{2} + 6 (0) - 6$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f (0) = - \frac{0}{2} + 6 (0) - 6$

Etapa 2.2.1.3

Divida $0$ por $2$ .

$f (0) = - 0 + 6 (0) - 6$

Etapa 2.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 6 (0) - 6$

Etapa 2.2.1.5

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 6$

Etapa 2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 - 6$

Etapa 2.2.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$f (0) = - 6$

Etapa 2.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 0$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = - \frac{3 {(1)}^{2}}{2} + 6 (1) - 6$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = - \frac{3 \cdot 1}{2} + 6 (1) - 6$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + 6 (1) - 6$

Etapa 2.5.1.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + 6 - 6$

Etapa 2.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Escreva $6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6}{1} - 6$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $\frac{6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 2.5.2.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 2.5.2.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.5.2.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (1) = - \frac{3}{2} + \frac{6 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (1) = \frac{- 3 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $6$ por $2$ .

$f (1) = \frac{- 3 + 12 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (1) = \frac{- 3 + 12 - 12}{2}$

Etapa 2.5.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Some $- 3$ e $12$ .

$f (1) = \frac{9 - 12}{2}$

Etapa 2.5.5.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$f (1) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.5.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (1) = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.5.6

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 1$ é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = - \frac{3 {(4)}^{2}}{2} + 6 (4) - 6$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = - \frac{3 \cdot 16}{2} + 6 (4) - 6$

Etapa 2.8.1.2

Multiplique $3$ por $16$ .

$f (4) = - \frac{48}{2} + 6 (4) - 6$

Etapa 2.8.1.3

Divida $48$ por $2$ .

$f (4) = - 1 \cdot 24 + 6 (4) - 6$

Etapa 2.8.1.4

Multiplique $- 1$ por $24$ .

$f (4) = - 24 + 6 (4) - 6$

Etapa 2.8.1.5

Multiplique $6$ por $4$ .

$f (4) = - 24 + 24 - 6$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Some $- 24$ e $24$ .

$f (4) = 0 - 6$

Etapa 2.8.2.2

Subtraia $6$ de $0$ .

$f (4) = - 6$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 4$ é $- 6$ .

$y = - 6$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 6 (3) - 6$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (3) = - \frac{3 {(3)}^{2}}{2} + 6 (3) - 6$

Etapa 2.11.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (3) = - \frac{3^{1 + 2}}{2} + 6 (3) - 6$

Etapa 2.11.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (3) = - \frac{3^{3}}{2} + 6 (3) - 6$

Etapa 2.11.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + 6 (3) - 6$

Etapa 2.11.1.3

Multiplique $6$ por $3$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + 18 - 6$

Etapa 2.11.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Escreva $18$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18}{1} - 6$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18}{1} \cdot \frac{2}{2} - 6$

Etapa 2.11.2.3

Multiplique $\frac{18}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} - 6$

Etapa 2.11.2.4

Escreva $- 6$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1}$

Etapa 2.11.2.5

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{- 6}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 2.11.2.6

Multiplique $\frac{- 6}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (3) = - \frac{27}{2} + \frac{18 \cdot 2}{2} + \frac{- 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (3) = \frac{- 27 + 18 \cdot 2 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Multiplique $18$ por $2$ .

$f (3) = \frac{- 27 + 36 - 6 \cdot 2}{2}$

Etapa 2.11.4.2

Multiplique $- 6$ por $2$ .

$f (3) = \frac{- 27 + 36 - 12}{2}$

Etapa 2.11.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1

Some $- 27$ e $36$ .

$f (3) = \frac{9 - 12}{2}$

Etapa 2.11.5.2

Subtraia $12$ de $9$ .

$f (3) = \frac{- 3}{2}$

Etapa 2.11.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (3) = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.11.6

A resposta final é $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 3$ é $- \frac{3}{2}$ .

$y = - \frac{3}{2}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{3}{2} \\ 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3}{2} \\ 4 & - 6 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para baixo

Vértice: $(2, 0)$

Foco: $(2, - \frac{1}{6})$

Eixo de simetria: $x = 2$

Diretriz: $y = \frac{1}{6}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 0 & - 6 \\ 1 & - \frac{3}{2} \\ 2 & 0 \\ 3 & - \frac{3}{2} \\ 4 & - 6 \end{array}$

Etapa 4