Álgebra Exemplos

$g (x) = \frac{1}{3} {(x - 6)}^{2} + 1$

Etapa 1

Encontre as propriedades da parábola em questão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Isole $y$ no lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x - 6)}^{2}$ .

$y = \frac{{(x - 6)}^{2}}{3} + 1$

Etapa 1.1.2

Reordene os termos.

$y = \frac{1}{3} \cdot {(x - 6)}^{2} + 1$

Etapa 1.2

Use a forma de vértice, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , para determinar os valores de $a$ , $h$ e $k$ .

$a = \frac{1}{3}$

$h = 6$

$k = 1$

Etapa 1.3

Como o valor de $a$ é positivo, a parábola abre para cima.

Abre para cima

Etapa 1.4

Encontre o vértice $(h, k)$ .

$(6, 1)$

Etapa 1.5

Encontre $p$ , a distância do vértice até o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Encontre a distância do vértice até um foco da parábola usando a seguinte fórmula.

$\frac{1}{4 a}$

Etapa 1.5.2

Substitua o valor de $a$ na fórmula.

$\frac{1}{4 \cdot \frac{1}{3}}$

Etapa 1.5.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.3.1

Combine $4$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{\frac{4}{3}}$

Etapa 1.5.3.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$1 (\frac{3}{4})$

Etapa 1.5.3.3

Multiplique $\frac{3}{4}$ por $1$ .

$\frac{3}{4}$

Etapa 1.6

Encontre o foco.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

O foco de uma parábola pode ser encontrado ao somar $p$ com a coordenada y $k$ , se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$(h, k + p)$

Etapa 1.6.2

Substitua os valores conhecidos de $h$ , $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$(6, \frac{7}{4})$

Etapa 1.7

Para encontrar o eixo de simetria, encontre a reta que passa pelo vértice e o foco.

$x = 6$

Etapa 1.8

Encontre a diretriz.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

A diretriz de uma parábola é a reta horizontal encontrada ao subtrair $p$ da coordenada y $k$ do vértice se a parábola abrir para cima ou para baixo.

$y = k - p$

Etapa 1.8.2

Substitua os valores conhecidos de $p$ e $k$ na fórmula e simplifique.

$y = \frac{1}{4}$

Etapa 1.9

Use as propriedades da parábola para analisá-la e representá-la graficamente.

Direção: abre para cima

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eixo de simetria: $x = 6$

Diretriz: $y = \frac{1}{4}$

Direção: abre para cima

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eixo de simetria: $x = 6$

Diretriz: $y = \frac{1}{4}$

Etapa 2

Selecione alguns valores de $x$ e substitua-os na equação para encontrar os valores correspondentes de $y$ . Os valores de $x$ devem ser selecionados em torno do vértice.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $5$ na expressão.

$f (5) = \frac{{(5)}^{2}}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 4 \cdot 5 + 13$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 4$ por $5$ .

$f (5) = \frac{25}{3} - 20 + 13$

Etapa 2.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Escreva $- 20$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} + 13$

Etapa 2.2.2.2

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $\frac{- 20}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + 13$

Etapa 2.2.2.4

Escreva $13$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Etapa 2.2.2.5

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.2.2.6

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (5) = \frac{25}{3} + \frac{- 20 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (5) = \frac{25 - 20 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Multiplique $- 20$ por $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $13$ por $3$ .

$f (5) = \frac{25 - 60 + 39}{3}$

Etapa 2.2.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Subtraia $60$ de $25$ .

$f (5) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Etapa 2.2.5.2

Some $- 35$ e $39$ .

$f (5) = \frac{4}{3}$

Etapa 2.2.6

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 2.3

O valor $y$ em $x = 5$ é $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Etapa 2.4

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \frac{{(4)}^{2}}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Etapa 2.5

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 4 \cdot 4 + 13$

Etapa 2.5.1.2

Multiplique $- 4$ por $4$ .

$f (4) = \frac{16}{3} - 16 + 13$

Etapa 2.5.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Escreva $- 16$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} + 13$

Etapa 2.5.2.2

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Etapa 2.5.2.3

Multiplique $\frac{- 16}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + 13$

Etapa 2.5.2.4

Escreva $13$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Etapa 2.5.2.5

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.5.2.6

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (4) = \frac{16}{3} + \frac{- 16 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.5.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (4) = \frac{16 - 16 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.5.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.4.1

Multiplique $- 16$ por $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.5.4.2

Multiplique $13$ por $3$ .

$f (4) = \frac{16 - 48 + 39}{3}$

Etapa 2.5.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.5.1

Subtraia $48$ de $16$ .

$f (4) = \frac{- 32 + 39}{3}$

Etapa 2.5.5.2

Some $- 32$ e $39$ .

$f (4) = \frac{7}{3}$

Etapa 2.5.6

A resposta final é $\frac{7}{3}$ .

$\frac{7}{3}$

Etapa 2.6

O valor $y$ em $x = 4$ é $\frac{7}{3}$ .

$y = \frac{7}{3}$

Etapa 2.7

Substitua a variável $x$ por $9$ na expressão.

$f (9) = \frac{{(9)}^{2}}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Etapa 2.8

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.1.1

Eleve $9$ à potência de $2$ .

$f (9) = \frac{81}{3} - 4 \cdot 9 + 13$

Etapa 2.8.1.2

Divida $81$ por $3$ .

$f (9) = 27 - 4 \cdot 9 + 13$

Etapa 2.8.1.3

Multiplique $- 4$ por $9$ .

$f (9) = 27 - 36 + 13$

Etapa 2.8.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.8.2.1

Subtraia $36$ de $27$ .

$f (9) = - 9 + 13$

Etapa 2.8.2.2

Some $- 9$ e $13$ .

$f (9) = 4$

Etapa 2.8.3

A resposta final é $4$ .

$4$

Etapa 2.9

O valor $y$ em $x = 9$ é $4$ .

$y = 4$

Etapa 2.10

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = \frac{{(7)}^{2}}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Etapa 2.11

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 4 \cdot 7 + 13$

Etapa 2.11.1.2

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$f (7) = \frac{49}{3} - 28 + 13$

Etapa 2.11.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.2.1

Escreva $- 28$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} + 13$

Etapa 2.11.2.2

Multiplique $\frac{- 28}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28}{1} \cdot \frac{3}{3} + 13$

Etapa 2.11.2.3

Multiplique $\frac{- 28}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + 13$

Etapa 2.11.2.4

Escreva $13$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1}$

Etapa 2.11.2.5

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13}{1} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 2.11.2.6

Multiplique $\frac{13}{1}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (7) = \frac{49}{3} + \frac{- 28 \cdot 3}{3} + \frac{13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.11.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (7) = \frac{49 - 28 \cdot 3 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.11.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.4.1

Multiplique $- 28$ por $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 13 \cdot 3}{3}$

Etapa 2.11.4.2

Multiplique $13$ por $3$ .

$f (7) = \frac{49 - 84 + 39}{3}$

Etapa 2.11.5

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.5.1

Subtraia $84$ de $49$ .

$f (7) = \frac{- 35 + 39}{3}$

Etapa 2.11.5.2

Some $- 35$ e $39$ .

$f (7) = \frac{4}{3}$

Etapa 2.11.6

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 2.12

O valor $y$ em $x = 7$ é $\frac{4}{3}$ .

$y = \frac{4}{3}$

Etapa 2.13

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Etapa 3

Crie um gráfico da parábola usando suas propriedades e os pontos selecionados.

Direção: abre para cima

Vértice: $(6, 1)$

Foco: $(6, \frac{7}{4})$

Eixo de simetria: $x = 6$

Diretriz: $y = \frac{1}{4}$

$\begin{array}{c} x & y \\ 4 & \frac{7}{3} \\ 5 & \frac{4}{3} \\ 6 & 1 \\ 7 & \frac{4}{3} \\ 9 & 4 \end{array}$

Etapa 4