Álgebra Exemplos

$\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0)$

Etapa 1.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0)$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3} {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Etapa 1.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Etapa 1.3.12

Multiplique $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.13

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2}{3}) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.1.2

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3}$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ como ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} ({({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (\frac{d}{d u (1)} ({u_{1}}^{- 1}) \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 2.2.4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{d}{d u (2)} ({u_{2}}^{\frac{1}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Etapa 2.2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} {u_{2}}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Etapa 2.2.4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)))$

Etapa 2.2.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))))$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))))$

Etapa 2.2.7

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.8

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.8.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.8.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.9

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.10

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.12

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.12.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.12.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 2}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (1 + 0))))$

Etapa 2.2.14

Some $1$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \cdot 1))$

Etapa 2.2.15

Combine $\frac{1}{3}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} (\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \cdot 1))$

Etapa 2.2.16

Multiplique $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.17

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- {(x + 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.18

Combine $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{{(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.19

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.20

Multiplique ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ por ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.20.1

Mova ${(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}} {(x + 1)}^{\frac{2}{3}})})$

Etapa 2.2.20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2.20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}})$

Etapa 2.2.20.4

Some $2$ e $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{2}{3} \cdot (- \frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.2.21

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 (3 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 2.2.22

Multiplique $3$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{9 {(x + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}] + \frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{2 x}{3}) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{2}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d x} ({(x + 1)}^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = x + 1$ .

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Etapa 4.1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{3}}) \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 4.1.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 4.1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} (x + 1)$

Etapa 4.1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Etapa 4.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Etapa 4.1.3.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.5

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.6

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.7

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.8

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.3.8.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.8.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{\frac{- 1}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot ({(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} (1 + 0))$

Etapa 4.1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} \cdot {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.11

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \cdot 1$

Etapa 4.1.3.12

Multiplique $\frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2 {(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.13

Mova ${(x + 1)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $\frac{2}{3}$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}, 3$

Etapa 5.3.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 5.3.3

Como $3$ não tem fatores além de $1$ e $3$ .

$3$ é um número primo

Etapa 5.3.4

O MMC de $3, 3$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores primos pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos números.

$3$

Etapa 5.3.5

O fator de $x + 1$ é o próprio $x + 1$ .

$(x + 1) = x + 1$

$(x + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 5.3.6

O MMC de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.3.7

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ por $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} = - \frac{2}{3}$ por $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}) = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{{(x + 1)}^{\frac{1}{3}}} {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$2 = - \frac{2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2}{3}$ para o numerador.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.3.1.2

Fatore $3$ de $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$2 = \frac{- 2}{3} (3 ({(x + 1)}^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 5.4.3.1.3

Cancele o fator comum.

$2 = \frac{- 2}{3} (3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})$

Etapa 5.4.3.1.4

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Divida $2$ por $- 2$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3}} = - 1$

Etapa 5.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Simplifique ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(x + 1)}^{1} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x + 1 = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x + 1 = - 1$

Etapa 5.5.5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1 - 1$

Etapa 5.5.5.2

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$x = - 2$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{{(x + 1)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{3 \sqrt[3]{x + 1}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$3 \sqrt[3]{x + 1} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${(3 \sqrt[3]{x + 1})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra do produto a $3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$27 {({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3

Multiplique os expoentes em ${({(x + 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$27 {(x + 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$27 {(x + 1)}^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.4

Simplifique.

$27 (x + 1) = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x + 27 \cdot 1 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.6

Multiplique $27$ por $1$ .

$27 x + 27 = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$27 x + 27 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $27$ dos dois lados da equação.

$27 x = - 27$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $27 x = - 27$ por $27$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $27 x = - 27$ por $27$ .

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum de $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{27 x}{27} = \frac{- 27}{27}$

Etapa 6.3.3.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 27}{27}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 27$ por $27$ .

$x = - 1$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 2, - 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 2$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{9 {((- 2) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Some $- 2$ e $1$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{9 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{9 {(- 1)}^{4}}$

Etapa 9.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $9$ por $1$ .

$- \frac{2}{9}$

Etapa 10

$x = - 2$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f (- 2) = \frac{2 (- 2)}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {((- 2) + 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 2$ e $1$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.2.4

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 11.2.2.5

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.5.1

Cancele o fator comum.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 11.2.2.5.2

Reescreva a expressão.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + {(- 1)}^{2}$

Etapa 11.2.2.6

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + 1$

Etapa 11.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f (- 2) = - \frac{4}{3} + \frac{3}{3}$

Etapa 11.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- 2) = \frac{- 4 + 3}{3}$

Etapa 11.2.3.3

Some $- 4$ e $3$ .

$f (- 2) = \frac{- 1}{3}$

Etapa 11.2.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- 2) = - \frac{1}{3}$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $- \frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{1}{3}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{9 {((- 1) + 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Some $- 1$ e $1$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{9 \cdot 0^{4}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{9 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $9$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, - 1) \cup (- 1, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 2)$ na primeira derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 4) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.2.2.1

Some $- 4$ e $1$ .

$f' (- 4) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2.2

A resposta final é $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 3)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 1.5$ , do intervalo $(- 2, - 1)$ na primeira derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 1.5$ na expressão.

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((- 1.5) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.2.1

Some $- 1.5$ e $1$ .

$f' (- 1.5) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2.2

A resposta final é $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- 1, \infty)$ na primeira derivada $\frac{2}{3} + \frac{2}{3 {(x + 1)}^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 {((0) + 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.1.1

Some $0$ e $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2.1.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$f' (0) = \frac{2}{3} + \frac{2}{3}$

Etapa 14.4.2.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (0) = \frac{2 + 2}{3}$

Etapa 14.4.2.2.2

Some $2$ e $2$ .

$f' (0) = \frac{4}{3}$

Etapa 14.4.2.3

A resposta final é $\frac{4}{3}$ .

$\frac{4}{3}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 2$ , então $x = - 2$ é um máximo local.

$x = - 2$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um mínimo local.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{2 x}{3} + {(x + 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 2$ é um máximo local

$x = - 1$ é um mínimo local

$x = - 2$ é um máximo local

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 15