Álgebra Exemplos

$0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $0.5$ .

$1 x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$x + \frac{d}{d x} [23 x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $23 x$ em relação a $x$ é $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$x + 23 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $23$ por $1$ .

$x + 23 + \frac{d}{d x} [- 216] + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.4

Como $- 216$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 216$ em relação a $x$ é $0$ .

$x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $2600$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2600}{x}$ em relação a $x$ é $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Etapa 1.5.4

Multiplique $- 1$ por $2600$ .

$x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Etapa 1.6

Simplifique.

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Etapa 1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.6.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Some $x + 23$ e $0$ .

$x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.6.2.2

Combine $- 2600$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Etapa 1.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Etapa 1.6.3

Reordene os termos.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [23]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{d}{d x} (- \frac{2600}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{2600}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2600$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2600}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{2}} + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 \frac{d}{d x} {(x^{2})}^{- 1} + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 1 - 2600 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 2$ por $- 2600$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (23)$

Etapa 2.3

Como $23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $23$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 1 + 5200 (\frac{1}{x^{3}}) + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $5200$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Some $1 + \frac{5200}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = 1 + \frac{5200}{x^{3}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{5200}{x^{3}} + 1$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$f' (x) = \frac{d}{d x} (0.5 x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [0.5 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $0.5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0.5 x^{2}$ em relação a $x$ é $0.5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 0.5 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 0.5 (2 x) + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $0.5$ .

$f' (x) = 1 x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$f' (x) = x + \frac{d}{d x} (23 x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [23 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $23$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $23 x$ em relação a $x$ é $23 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = x + 23 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x + 23 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $23$ por $1$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{d}{d x} (- 216) + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.4

Como $- 216$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 216$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2600}{x})$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2600}{x}]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $2600$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2600}{x}$ em relação a $x$ é $2600 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x})$

Etapa 4.1.5.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 \frac{d}{d x} (x^{- 1})$

Etapa 4.1.5.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 + 2600 (- x^{- 2})$

Etapa 4.1.5.4

Multiplique $- 1$ por $2600$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 x^{- 2}$

Etapa 4.1.6

Simplifique.

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Etapa 4.1.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = x + 23 + 0 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6.2

Combine os termos.

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Etapa 4.1.6.2.1

Some $x + 23$ e $0$ .

$f' (x) = x + 23 - 2600 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6.2.2

Combine $- 2600$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$f' (x) = x + 23 + \frac{- 2600}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = x + 23 - \frac{2600}{x^{2}}$

Etapa 4.1.6.3

Reordene os termos.

$f' (x) = x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x - \frac{2600}{x^{2}} + 23 = 0$

Etapa 5.2

Represente cada lado da equação em um gráfico. A solução é o valor x do ponto de intersecção.

$x \approx 9.01216529$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

Defina o denominador em $\frac{2600}{x^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x$ .

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Etapa 6.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 9.01216529$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 9.01216529$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{5200}{{(9.01216529)}^{3}} + 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Eleve $9.01216529$ à potência de $3$ .

$\frac{5200}{731.96016423} + 1$

Etapa 9.1.2

Divida $5200$ por $731.96016423$ .

$7.10421175 + 1$

Etapa 9.2

Some $7.10421175$ e $1$ .

$8.10421175$

Etapa 10

$x = 9.01216529$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 9.01216529$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 9.01216529$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $9.01216529$ na expressão.

$f (9.01216529) = 0.5 {(9.01216529)}^{2} + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Eleve $9.01216529$ à potência de $2$ .

$f (9.01216529) = 0.5 \cdot 81.21912329 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $0.5$ por $81.21912329$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 23 (9.01216529) - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $23$ por $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + \frac{2600}{9.01216529}$

Etapa 11.2.1.4

Divida $2600$ por $9.01216529$ .

$f (9.01216529) = 40.60956164 + 207.27980177 - 216 + 288.49892506$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Some $40.60956164$ e $207.27980177$ .

$f (9.01216529) = 247.88936342 - 216 + 288.49892506$

Etapa 11.2.2.2

Subtraia $216$ de $247.88936342$ .

$f (9.01216529) = 31.88936342 + 288.49892506$

Etapa 11.2.2.3

Some $31.88936342$ e $288.49892506$ .

$f (9.01216529) = 320.38828848$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $320.38828848$ .

$y = 320.38828848$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 0.5 x^{2} + 23 x - 216 + \frac{2600}{x}$ .

$(9.01216529, 320.38828848)$ é um mínimo local

Etapa 13