Álgebra Exemplos

$x^{3} - 4 x^{2} + 4$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $3 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 8$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} - 8 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 4 x^{2} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$3 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [4]$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $3 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 8 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} - 8 x$ .

$3 x^{2} - 8 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} - 8 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} - 8 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $x$ de $3 x^{2} - 8 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2}$ .

$x (3 x) - 8 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $x$ de $- 8 x$ .

$x (3 x) + x \cdot - 8 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $x$ de $x (3 x) + x \cdot - 8$ .

$x (3 x - 8) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 8 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $3 x - 8$ como igual a $0$ .

$3 x - 8 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $3 x - 8 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $8$ aos dois lados da equação.

$3 x = 8$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 8$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{8}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{8}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $x (3 x - 8) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{8}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (0) - 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $6$ por $0$ .

$0 - 8$

Etapa 9.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 4$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 4$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 4$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 4$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $4$ .

$f (0) = 4$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $4$ .

$y = 4$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{8}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (\frac{8}{3}) - 8$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{8}{3} - 8$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{8}{3} - 8$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 8 - 8$

Etapa 13.1.2

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 - 8$

Etapa 13.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$8$

Etapa 14

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{8}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{8}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{8}{3}$ na expressão.

$f (\frac{8}{3}) = {(\frac{8}{3})}^{3} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{8^{3}}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{3^{3}} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 {(\frac{8}{3})}^{2} + 4$

Etapa 15.2.1.4

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{8^{2}}{3^{2}} + 4$

Etapa 15.2.1.5

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 \frac{64}{3^{2}} + 4$

Etapa 15.2.1.6

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - 4 (\frac{64}{9}) + 4$

Etapa 15.2.1.7

Multiplique $- 4 (\frac{64}{9})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.7.1

Combine $- 4$ e $\frac{64}{9}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 4 \cdot 64}{9} + 4$

Etapa 15.2.1.7.2

Multiplique $- 4$ por $64$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} + \frac{- 256}{9} + 4$

Etapa 15.2.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256}{9} + 4$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{256}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - (\frac{256}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 4$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{256}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 4$

Etapa 15.2.2.3

Escreva $4$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{1}$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{4}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.6

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512}{27} - \frac{256 \cdot 3}{27} + \frac{4 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 256 \cdot 3 + 4 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Multiplique $- 256$ por $3$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 + 4 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $4$ por $27$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{512 - 768 + 108}{27}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Subtraia $768$ de $512$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 256 + 108}{27}$

Etapa 15.2.5.2

Some $- 256$ e $108$ .

$f (\frac{8}{3}) = \frac{- 148}{27}$

Etapa 15.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{8}{3}) = - \frac{148}{27}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- \frac{148}{27}$ .

$y = - \frac{148}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 4$ .

$(0, 4)$ é um máximo local

$(\frac{8}{3}, - \frac{148}{27})$ é um mínimo local

Etapa 17