Álgebra Exemplos

$x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $3 x^{2} + 6 x - 1$ e $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 6 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + \frac{d}{d x} (- 1)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $6 x + 6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x + 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$3 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$3 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} + 6 x - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $3 x^{2} + 6 x - 1$ e $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $3 x^{2} + 6 x - 1$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $3 x^{2} + 6 x - 1 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$3 x^{2} + 6 x - 1 = 0$

Etapa 5.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 6$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.3

Some $36$ e $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 5.4.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.3

Some $36$ e $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.5.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 5.5.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.5.4

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.5.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.5.6

Fatore $- 1$ de $2 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (- 2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 5.5.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (- 2 \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 - 2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 5.5.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 + 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.3

Some $36$ e $12$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{48}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.4

Reescreva $48$ como $4^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1.4.1

Fatore $16$ de $48$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (3)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 5.6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$x = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$

Etapa 5.6.3

Simplifique $\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{3}}{6}$ .

$x = \frac{- 3 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.4

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.5

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.6.6

Fatore $- 1$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 3 - (2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 5.6.7

Fatore $- 1$ de $- 1 (3) - (2 \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (3 + 2 \sqrt{3})}{3}$

Etapa 5.6.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 5.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) + 6$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$6 \frac{- (3 - 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 9.1.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 - 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 9.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 - 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 9.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 (- (3 - 2 \sqrt{3})) + 6$

Etapa 9.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (3 - 2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 9.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 3 - 2 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 9.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 - 2 (- 2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 9.1.5

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$- 6 + 4 \sqrt{3} + 6$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $- 6$ e $6$ .

$0 + 4 \sqrt{3}$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $4 \sqrt{3}$ .

$4 \sqrt{3}$

Etapa 10

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.4

Use o teorema binomial.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (- 2 \sqrt{3})) + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (- 2 \sqrt{3})) + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.2

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.2.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

Etapa 11.2.1.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (- 2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3^{3} (- 2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 27 (- 2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.4

Multiplique $- 2$ por $27$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 3 \cdot (3 {(- 2 \sqrt{3})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 {(- 2 \sqrt{3})}^{2} + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.6

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 ({(- 2)}^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.7

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 {\sqrt{3}}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.8.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3) + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.9

Multiplique $9 (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.9.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 9 \cdot 12 + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.9.2

Multiplique $9$ por $12$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 + {(- 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.10

Aplique a regra do produto a $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 + {(- 2)}^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.11

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 {\sqrt{3}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.12

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 \sqrt{3^{3}}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.13

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 \sqrt{27}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.14

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.14.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 \sqrt{9 (3)}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.14.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 8 (3 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.5.16

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 - 54 \sqrt{3} + 108 - 24 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.6

Some $27$ e $108$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{135 - 54 \sqrt{3} - 24 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.7

Subtraia $24 \sqrt{3}$ de $- 54 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{135 - 78 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8

Cancele o fator comum de $135 - 78 \sqrt{3}$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.8.1

Fatore $3$ de $135$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45) - 78 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8.2

Fatore $3$ de $- 78 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45) + 3 (- 26 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8.3

Fatore $3$ de $3 (45) + 3 (- 26 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 - 26 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.1.8.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 - 26 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 - 26 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})}^{2}) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (1 (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.11

Multiplique $\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{9}) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.13.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3 (3)}) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{{(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.14

Reescreva ${(3 - 2 \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 - 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.15

Expanda $(3 - 2 \sqrt{3}) (3 - 2 \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (3 - 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (3 - 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} (3 - 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 11.2.1.16.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.16.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 3 (- 2 \sqrt{3}) - 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.2

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.3

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.4

Multiplique $- 2 \sqrt{3} (- 2 \sqrt{3})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.16.1.4.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 11.2.1.16.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.16.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} + 12}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.2

Some $9$ e $12$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{21 - 6 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.16.3

Subtraia $6 \sqrt{3}$ de $- 6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{21 - 12 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17

Cancele o fator comum de $21 - 12 \sqrt{3}$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.17.1

Fatore $3$ de $21$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 7 - 12 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.2

Fatore $3$ de $- 12 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 7 + 3 (- 4 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.3

Fatore $3$ de $3 (7) + 3 (- 4 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 - 4 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.17.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 - 4 \sqrt{3})}{3 (1)} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 - 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{1} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.17.4.4

Divida $7 - 4 \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 7 - 4 \sqrt{3} - (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.18

Multiplique $- (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Etapa 11.2.1.18.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 7 - 4 \sqrt{3} + 1 (\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 11.2.1.18.2

Multiplique $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 7 - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.3

Combine frações.

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Etapa 11.2.3.1

Combine $7$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 11.2.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- (45 - 26 \sqrt{3}) + 7 \cdot 9}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.3.2.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- (45 - 26 \sqrt{3}) + 63}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 45 - (- 26 \sqrt{3}) + 63}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 45 - (- 26 \sqrt{3}) + 63}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.4.3

Multiplique $- 26$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 45 + 26 \sqrt{3} + 63}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.4.4

Some $- 45$ e $63$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} - 4 \sqrt{3} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.5

Encontre o denominador comum.

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Etapa 11.2.5.1

Escreva $- 4 \sqrt{3}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{1} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.5.2

Multiplique $\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.5.3

Multiplique $\frac{- 4 \sqrt{3}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 11.2.5.4

Multiplique $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Etapa 11.2.5.5

Multiplique $\frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 3$

Etapa 11.2.5.6

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Etapa 11.2.5.7

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 11.2.5.8

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.5.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{- 4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 4 \sqrt{3} \cdot 9 + (3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.7.1

Multiplique $9$ por $- 4$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} + (3 - 2 \sqrt{3}) \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 - 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} + 9 - 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.4

Multiplique $3$ por $- 2$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} + 9 - 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 11.2.7.5

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} + 9 - 6 \sqrt{3} - 27}{9}$

Etapa 11.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 11.2.8.1

Some $18$ e $9$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{27 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3} - 27}{9}$

Etapa 11.2.8.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 11.2.8.2.1

Subtraia $27$ de $27$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{0 + 26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.8.2.2

Some $0$ e $26 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{26 \sqrt{3} - 36 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.8.3

Subtraia $36 \sqrt{3}$ de $26 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 10 \sqrt{3} - 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.8.4

Subtraia $6 \sqrt{3}$ de $- 10 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.8.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 11.2.9

A resposta final é $- \frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = - \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6 (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) + 6$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ para o numerador.

$6 \frac{- (3 + 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 13.1.1.2

Fatore $3$ de $6$ .

$3 (2) \frac{- (3 + 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 13.1.1.3

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 2 \frac{- (3 + 2 \sqrt{3})}{3} + 6$

Etapa 13.1.1.4

Reescreva a expressão.

$2 (- (3 + 2 \sqrt{3})) + 6$

Etapa 13.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (3 + 2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 13.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \cdot 3 - 2 (2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 2$ por $3$ .

$- 6 - 2 (2 \sqrt{3}) + 6$

Etapa 13.1.5

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$- 6 - 4 \sqrt{3} + 6$

Etapa 13.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 13.2.1

Some $- 6$ e $6$ .

$0 - 4 \sqrt{3}$

Etapa 13.2.2

Subtraia $4 \sqrt{3}$ de $0$ .

$- 4 \sqrt{3}$

Etapa 14

$x = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} {(\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{3} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = {(- 1)}^{3} (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}}) + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{3}}{3^{3}} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.4

Use o teorema binomial.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3^{3} + 3 \cdot (3^{2} (2 \sqrt{3})) + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.5.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3 \cdot (3^{2} (2 \sqrt{3})) + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.2

Multiplique $3$ por $3^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 15.2.1.5.2.1

Multiplique $3$ por $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.2.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

Etapa 15.2.1.5.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3^{1 + 2} (2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 3^{3} (2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 27 (2 \sqrt{3}) + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.4

Multiplique $2$ por $27$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 3 \cdot (3 {(2 \sqrt{3})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.5

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 {(2 \sqrt{3})}^{2} + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.6

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (2^{2} {\sqrt{3}}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.7

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 {\sqrt{3}}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.5.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.8.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 (4 \cdot 3) + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.9

Multiplique $9 (4 \cdot 3)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.9.1

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 9 \cdot 12 + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.9.2

Multiplique $9$ por $12$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + {(2 \sqrt{3})}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.10

Aplique a regra do produto a $2 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 2^{3} {\sqrt{3}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.11

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 {\sqrt{3}}^{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.12

Reescreva ${\sqrt{3}}^{3}$ como $\sqrt{3^{3}}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 \sqrt{3^{3}}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.13

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 \sqrt{27}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.14

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.14.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 \sqrt{9 (3)}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.14.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 \sqrt{3^{2} \cdot 3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.15

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 8 (3 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.5.16

Multiplique $3$ por $8$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{27 + 54 \sqrt{3} + 108 + 24 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.6

Some $27$ e $108$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{135 + 54 \sqrt{3} + 24 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.7

Some $54 \sqrt{3}$ e $24 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{135 + 78 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8

Cancele o fator comum de $135 + 78 \sqrt{3}$ e $27$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.1

Fatore $3$ de $135$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45) + 78 \sqrt{3}}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8.2

Fatore $3$ de $78 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45) + 3 (26 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8.3

Fatore $3$ de $3 (45) + 3 (26 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 + 26 \sqrt{3})}{27} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.8.4.1

Fatore $3$ de $27$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 + 26 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{3 (45 + 26 \sqrt{3})}{3 \cdot 9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.8.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 {(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.9

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.9.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})}^{2}) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.9.2

Aplique a regra do produto a $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 ({(- 1)}^{2} (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.10

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (1 (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}})) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.11

Multiplique $\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3^{2}}) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.12

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{9}) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.13

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 15.2.1.13.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3 (3)}) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.13.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 3 (\frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3 \cdot 3}) - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.13.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{{(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.14

Reescreva ${(3 + 2 \sqrt{3})}^{2}$ como $(3 + 2 \sqrt{3}) (3 + 2 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) (3 + 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.15

Expanda $(3 + 2 \sqrt{3}) (3 + 2 \sqrt{3})$ usando o método FOIL.

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Etapa 15.2.1.15.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (3 + 2 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} (3 + 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.15.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} (3 + 2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.15.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 3 + 3 (2 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} \cdot 3 + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 15.2.1.16.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.16.1.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 3 (2 \sqrt{3}) + 2 \sqrt{3} \cdot 3 + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} \cdot 3 + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.4

Multiplique $2 \sqrt{3} (2 \sqrt{3})$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.4.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.4.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 (\sqrt{3} \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.4.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 {\sqrt{3}}^{2}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 15.2.1.16.1.5.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3^{\frac{2}{2}}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.5.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 4 \cdot 3}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.1.6

Multiplique $4$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{9 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} + 12}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.2

Some $9$ e $12$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{21 + 6 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.16.3

Some $6 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{21 + 12 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17

Cancele o fator comum de $21 + 12 \sqrt{3}$ e $3$ .

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Etapa 15.2.1.17.1

Fatore $3$ de $21$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 7 + 12 \sqrt{3}}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.2

Fatore $3$ de $12 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 \cdot 7 + 3 (4 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.3

Fatore $3$ de $3 (7) + 3 (4 \sqrt{3})$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 + 4 \sqrt{3})}{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 15.2.1.17.4.1

Fatore $3$ de $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 + 4 \sqrt{3})}{3 (1)} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.4.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{3 (7 + 4 \sqrt{3})}{3 \cdot 1} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.4.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{7 + 4 \sqrt{3}}{1} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.17.4.4

Divida $7 + 4 \sqrt{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 7 + 4 \sqrt{3} - (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.18

Multiplique $- (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3})$ .

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Etapa 15.2.1.18.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 7 + 4 \sqrt{3} + 1 (\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) - 3$

Etapa 15.2.1.18.2

Multiplique $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 7 + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.2

Para escrever $7$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + 7 \cdot \frac{9}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.3

Combine frações.

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Etapa 15.2.3.1

Combine $7$ e $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = - \frac{45 + 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{7 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.3.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- (45 + 26 \sqrt{3}) + 7 \cdot 9}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.3.2.2

Multiplique $7$ por $9$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- (45 + 26 \sqrt{3}) + 63}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 1 \cdot 45 - (26 \sqrt{3}) + 63}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $45$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 45 - (26 \sqrt{3}) + 63}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.4.3

Multiplique $26$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 45 - 26 \sqrt{3} + 63}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.4.4

Some $- 45$ e $63$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + 4 \sqrt{3} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.5

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.5.1

Escreva $4 \sqrt{3}$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{1} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.5.2

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3}}{1} \cdot \frac{9}{9} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.5.3

Multiplique $\frac{4 \sqrt{3}}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} - 3$

Etapa 15.2.5.4

Multiplique $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3} \cdot \frac{3}{3} - 3$

Etapa 15.2.5.5

Multiplique $\frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} - 3$

Etapa 15.2.5.6

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1}$

Etapa 15.2.5.7

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{9}{9}$

Etapa 15.2.5.8

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{9}{9}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.5.9

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3}}{9} + \frac{4 \sqrt{3} \cdot 9}{9} + \frac{(3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3}{9} + \frac{- 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} \cdot 9 + (3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.7.1

Multiplique $9$ por $4$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + (3 + 2 \sqrt{3}) \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 3 \cdot 3 + 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 9 + 2 \sqrt{3} \cdot 3 - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 9 + 6 \sqrt{3} - 3 \cdot 9}{9}$

Etapa 15.2.7.5

Multiplique $- 3$ por $9$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{18 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 9 + 6 \sqrt{3} - 27}{9}$

Etapa 15.2.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 15.2.8.1

Some $18$ e $9$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{27 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3} - 27}{9}$

Etapa 15.2.8.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 15.2.8.2.1

Subtraia $27$ de $27$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{0 - 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.8.2.2

Subtraia $26 \sqrt{3}$ de $0$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{- 26 \sqrt{3} + 36 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.8.3

Some $- 26 \sqrt{3}$ e $36 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{10 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.8.4

Some $10 \sqrt{3}$ e $6 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}) = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 15.2.9

A resposta final é $\frac{16 \sqrt{3}}{9}$ .

$y = \frac{16 \sqrt{3}}{9}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{3} + 3 x^{2} - x - 3$ .

$(- \frac{3 - 2 \sqrt{3}}{3}, - \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ é um mínimo local

$(- \frac{3 + 2 \sqrt{3}}{3}, \frac{16 \sqrt{3}}{9})$ é um máximo local

Etapa 17