Álgebra Exemplos

$S (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Etapa 1

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (w) = w^{4} - w^{3} - 11 w^{2} - w - 12$

Etapa 2

Como há $1$ mudança de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existe, no máximo, $1$ raiz positiva (regra dos sinais de Descartes).

Raízes positivas: $1$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $w$ por $- w$ e repita a comparação de sinais.

$f (- w) = {(- w)}^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Aplique a regra do produto a $- w$ .

$f (- w) = {(- 1)}^{4} w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- w) = 1 w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.3

Multiplique $w^{4}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} - {(- w)}^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} - ({(- 1)}^{3} w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.5

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.5.1

Mova ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot (- 1 w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.5.2

Multiplique ${(- 1)}^{3}$ por $- 1$ .

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Etapa 4.5.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3} \cdot ((- 1) w^{3}) - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.5.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{3 + 1} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.5.3

Some $3$ e $1$ .

$f (- w) = w^{4} + {(- 1)}^{4} w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.6

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- w) = w^{4} + 1 w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.7

Multiplique $w^{3}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 {(- w)}^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.8

Aplique a regra do produto a $- w$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 ({(- 1)}^{2} w^{2}) - (- w) - 12$

Etapa 4.9

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 (1 w^{2}) - (- w) - 12$

Etapa 4.10

Multiplique $w^{2}$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} - (- w) - 12$

Etapa 4.11

Multiplique $- (- w)$ .

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Etapa 4.11.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + 1 w - 12$

Etapa 4.11.2

Multiplique $w$ por $1$ .

$f (- w) = w^{4} + w^{3} - 11 w^{2} + w - 12$

Etapa 5

Como há $3$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $3$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $3 - 2$ ).

Raízes negativas: $3$ ou $1$

Etapa 6

O número possível de raízes positivas é $1$ , e o número possível de raízes negativas é $3$ ou $1$ .

Raízes positivas: $1$

Raízes negativas: $3$ ou $1$