Álgebra Exemplos

$f (x) = 3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 1

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir de $3 x^{6} + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$ .

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Etapa 1.1

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir de cada termo no polinômio.

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Etapa 1.1.1

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir da expressão $3 x^{6}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + 2 x^{5} + x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.2

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir da expressão $2 x^{5}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{4} - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.3

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir da expressão $x^{4}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) - 2 x^{3}$

Etapa 1.1.4

Fatore o MDC de $x^{3}$ a partir da expressão $- 2 x^{3}$ .

$x^{3} (3 x^{3}) + x^{3} (2 x^{2}) + x^{3} (x) + x^{3} (- 2)$

Etapa 1.2

Como todos os termos compartilham um fator comum de $x^{3}$ , ele pode ser fatorado fora de cada termo.

$x^{3} (3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2)$

Etapa 2

Aplique a regra de Descartes na expressão interna $3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$ .

$3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Etapa 3

Para encontrar o número possível de raízes positivas, analise os sinais nos coeficientes e conte o número de vezes que os sinais nos coeficientes mudam de positivo para negativo ou de negativo para positivo.

$f (x) = 3 x^{3} + 2 x^{2} + x - 2$

Etapa 4

Como há $1$ mudança de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existe, no máximo, $1$ raiz positiva (regra dos sinais de Descartes).

Raízes positivas: $1$

Etapa 5

Para encontrar o número possível de raízes negativas, substitua $x$ por $- x$ e repita a comparação de sinais.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Etapa 6

Simplifique o polinômio.

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Etapa 6.1

Remova os parênteses.

$f (- x) = 3 {(- x)}^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = 3 ({(- 1)}^{3} x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Etapa 6.2.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- x) = 3 (- x^{3}) + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Etapa 6.2.3

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 {(- x)}^{2} - x - 2$

Etapa 6.2.4

Aplique a regra do produto a $- x$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 ({(- 1)}^{2} x^{2}) - x - 2$

Etapa 6.2.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 (1 x^{2}) - x - 2$

Etapa 6.2.6

Multiplique $x^{2}$ por $1$ .

$f (- x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} - x - 2$

Etapa 7

Como há $2$ mudanças de sinal a partir do termo de ordem mais alta para a mais baixa, existem, no máximo, $2$ raízes negativas (regra dos sinais de Descartes). Os outros números possíveis de raízes negativas são encontrados pela subtração de pares de raízes (p. ex., $2 - 2$ ).

Raízes negativas: $2$ ou $0$

Etapa 8

O número possível de raízes positivas é $1$ , e o número possível de raízes negativas é $2$ ou $0$ .

Raízes positivas: $1$

Raízes negativas: $2$ ou $0$