Álgebra Exemplos

$\frac{4}{x - 2} \geq 2$

Etapa 1

Resolva $2 < x \leq 4$ .

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Etapa 1.1

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$\frac{4}{x - 2} - 2 \geq 0$

Etapa 1.2

Simplifique $\frac{4}{x - 2} - 2$ .

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Etapa 1.2.1

Para escrever $- 2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} - 2 \cdot \frac{x - 2}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.2

Combine $- 2$ e $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$\frac{4}{x - 2} + \frac{- 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{4 - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.4.1

Fatore $2$ de $4 - 2 (x - 2)$ .

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Etapa 1.2.4.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (2) - 2 (x - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4.1.2

Fatore $2$ de $- 2 (x - 2)$ .

$\frac{2 (2) + 2 (- (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (2) + 2 (- (x - 2))$ .

$\frac{2 (2 - (x - 2))}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 - x - - 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\frac{2 (2 - x + 2)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.4.4

Some $2$ e $2$ .

$\frac{2 (- x + 4)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.5

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$\frac{2 (- (x) + 4)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.6

Reescreva $4$ como $- 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x) - 1 (- 4))}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.7

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (- 4)$ .

$\frac{2 (- (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.8

Reescreva $- (x - 4)$ como $- 1 (x - 4)$ .

$\frac{2 (- 1 (x - 4))}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.2.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 (x - 4)}{x - 2} \geq 0$

Etapa 1.3

Encontre todos os valores em que a expressão muda de negativo para positivo, definindo cada fator igual a $0$ . Depois, resolva.

$x - 4 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 1.4

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.5

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.6

Resolva cada fator para encontrar os valores em que a expressão de valor absoluto passa de negativa para positiva.

$x = 4$

$x = 2$

Etapa 1.7

Consolide as soluções.

$x = 4, 2$

Etapa 1.8

Encontre o domínio de $- \frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ .

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Etapa 1.8.1

Defina o denominador em $\frac{2 (x - 4)}{x - 2}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x - 2 = 0$

Etapa 1.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 1.8.3

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 1.9

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

Etapa 1.10

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.10.1

Teste um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 2$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 0$

Etapa 1.10.1.2

Substitua $x$ por $0$ na desigualdade original.

$\frac{4}{(0) - 2} \geq 2$

Etapa 1.10.1.3

O lado esquerdo $- 2$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.10.2

Teste um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.2.1

Escolha um valor no intervalo $2 < x < 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 3$

Etapa 1.10.2.2

Substitua $x$ por $3$ na desigualdade original.

$\frac{4}{(3) - 2} \geq 2$

Etapa 1.10.2.3

O lado esquerdo $4$ é maior do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.10.3

Teste um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.10.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 4$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.10.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\frac{4}{(6) - 2} \geq 2$

Etapa 1.10.3.3

O lado esquerdo $1$ é menor do que o lado direito $2$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.10.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

$x < 2$ Falso

$2 < x < 4$ Verdadeiro

$x > 4$ Falso

Etapa 1.11

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$2 < x \leq 4$

Etapa 2

Use a desigualdade $2 < x \leq 4$ para criar a notação do conjunto.

${x | 2 < x \leq 4}$

Etapa 3