Álgebra Exemplos

$\sqrt{3 x} \leq \sqrt{2 x + 3}$

Etapa 1

Resolva $0 \leq x \leq 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Para remover o radical no lado esquerdo da desigualdade, eleve ao quadrado os dois lados da desigualdade.

${\sqrt{3 x}}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2

Simplifique cada lado da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x}$ como ${(3 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Simplifique ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(3 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(3 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(3 x)}^{1} \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2.2.1.2

Simplifique.

$3 x \leq {\sqrt{2 x + 3}}^{2}$

Etapa 1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Reescreva ${\sqrt{2 x + 3}}^{2}$ como $2 x + 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 x + 3}$ como ${(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}}$ .

$3 x \leq {({(2 x + 3)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 1.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 1.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{\frac{2}{2}}$

Etapa 1.2.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$3 x \leq {(2 x + 3)}^{1}$

Etapa 1.2.3.1.5

Simplifique.

$3 x \leq 2 x + 3$

Etapa 1.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da desigualdade.

$3 x - 2 x \leq 3$

Etapa 1.3.2

Subtraia $2 x$ de $3 x$ .

$x \leq 3$

Etapa 1.4

Encontre o domínio de $\sqrt{3 x} - \sqrt{2 x + 3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Defina o radicando em $\sqrt{3 x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$3 x \geq 0$

Etapa 1.4.2

Divida cada termo em $3 x \geq 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Divida cada termo em $3 x \geq 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 1.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} \geq \frac{0}{3}$

Etapa 1.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{3}$

Etapa 1.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x \geq 0$

Etapa 1.4.3

Defina o radicando em $\sqrt{2 x + 3}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 x + 3 \geq 0$

Etapa 1.4.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.1

Subtraia $3$ dos dois lados da desigualdade.

$2 x \geq - 3$

Etapa 1.4.4.2

Divida cada termo em $2 x \geq - 3$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.1

Divida cada termo em $2 x \geq - 3$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} \geq \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.4.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{- 3}{2}$

Etapa 1.4.4.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.4.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x \geq - \frac{3}{2}$

Etapa 1.4.5

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$[0, \infty)$

Etapa 1.5

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 3$

$x > 3$

Etapa 1.6

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.6.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\sqrt{3 (- 2)} \leq \sqrt{2 (- 2) + 3}$

Etapa 1.6.1.3

O lado esquerdo é diferente do lado direito, o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.6.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 1.6.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\sqrt{3 (2)} \leq \sqrt{2 (2) + 3}$

Etapa 1.6.2.3

O lado esquerdo $2.44948974$ é menor do que o lado direito $2.64575131$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.6.3

Teste um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 3$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 6$

Etapa 1.6.3.2

Substitua $x$ por $6$ na desigualdade original.

$\sqrt{3 (6)} \leq \sqrt{2 (6) + 3}$

Etapa 1.6.3.3

O lado esquerdo $4.24264068$ é maior do que o lado direito $3.87298334$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.6.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 3$ Verdadeiro

$x > 3$ Falso

Etapa 1.7

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 \leq x \leq 3$

Etapa 2

Use a desigualdade $0 \leq x \leq 3$ para criar a notação do conjunto.

${x | 0 \leq x \leq 3}$

Etapa 3