Álgebra Exemplos

$\log_{4} (x) < 4$

Etapa 1

Resolva $0 < x < 256$ .

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Etapa 1.1

Converta a desigualdade em uma igualdade.

$\log_{4} (x) = 4$

Etapa 1.2

Resolva a equação.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\log_{4} (x) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{4} = x$

Etapa 1.2.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Reescreva a equação como $x = 4^{4}$ .

$x = 4^{4}$

Etapa 1.2.2.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$x = 256$

Etapa 1.3

Encontre o domínio de $\log_{4} (x) - 4$ .

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Etapa 1.3.1

Defina o argumento em $\log_{4} (x)$ como maior do que $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$x > 0$

Etapa 1.3.2

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

$(0, \infty)$

Etapa 1.4

Use cada raiz para criar intervalos de teste.

$x < 0$

$0 < x < 256$

$x > 256$

Etapa 1.5

Escolha um valor de teste de cada intervalo e substitua esse valor pela desigualdade original para determinar quais intervalos satisfazem a desigualdade.

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Etapa 1.5.1

Teste um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.5.1.1

Escolha um valor no intervalo $x < 0$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = - 2$

Etapa 1.5.1.2

Substitua $x$ por $- 2$ na desigualdade original.

$\log_{4} (- 2) < 4$

Etapa 1.5.1.3

Determine se a desigualdade é verdadeira.

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Etapa 1.5.1.3.1

Não é possível resolver a equação, porque ela é indefinida.

$Indefinido$

Etapa 1.5.1.3.2

O lado esquerdo não tem solução, o que significa que a declaração em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.5.2

Teste um valor no intervalo $0 < x < 256$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.5.2.1

Escolha um valor no intervalo $0 < x < 256$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 2$

Etapa 1.5.2.2

Substitua $x$ por $2$ na desigualdade original.

$\log_{4} (2) < 4$

Etapa 1.5.2.3

O lado esquerdo $0.5$ é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é sempre verdadeira.

Verdadeiro

Etapa 1.5.3

Teste um valor no intervalo $x > 256$ e veja se ele torna a desigualdade verdadeira.

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Etapa 1.5.3.1

Escolha um valor no intervalo $x > 256$ e veja se ele torna a desigualdade original verdadeira.

$x = 258$

Etapa 1.5.3.2

Substitua $x$ por $258$ na desigualdade original.

$\log_{4} (258) < 4$

Etapa 1.5.3.3

O lado esquerdo $4.00561362$ não é menor do que o lado direito $4$ , o que significa que a afirmação em questão é falsa.

Falso

Etapa 1.5.4

Compare os intervalos para determinar quais satisfazem a desigualdade original.

$x < 0$ Falso

$0 < x < 256$ Verdadeiro

$x > 256$ Falso

$x < 0$ Falso

$0 < x < 256$ Verdadeiro

$x > 256$ Falso

Etapa 1.6

A solução consiste em todos os intervalos verdadeiros.

$0 < x < 256$

Etapa 2

Use a desigualdade $0 < x < 256$ para criar a notação do conjunto.

${x | 0 < x < 256}$

Etapa 3