Álgebra Exemplos

$\frac{x^{5} + 18}{x^{2} - 1}$

Etapa 1

Divida usando a divisão polinomial longa.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{5} + 0 - x^{3}$ .

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{3} + 0 - x$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

Etapa 1.11

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$18$

$x^{5}$

$0$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$0 x$

$x^{3}$

$0$

$x$

$18$

Etapa 1.12

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$x^{3} + x + \frac{x + 18}{x^{2} - 1}$

Etapa 2

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{x + 18}{x^{2} - 1^{2}}$

Etapa 2.1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{x + 18}{(x + 1) (x - 1)}$

Etapa 2.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{x + 1}$

Etapa 2.3

$\frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$

Etapa 2.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{(x + 18) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.5

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 18) (x + 1) (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(x + 18) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.6

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(x + 18) (x - 1)}{x - 1} = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.6.2

Divida $x + 18$ por $1$ .

$x + 18 = \frac{(A) (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1.1

Cancele o fator comum.

$x + 18 = \frac{A (x + 1) (x - 1)}{x + 1} + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.1.2

Divida $(A) (x - 1)$ por $1$ .

$x + 18 = (A) (x - 1) + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 18 = A x + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$x + 18 = A x - 1 \cdot A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.4

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$x + 18 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.5

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.5.1

Cancele o fator comum.

$x + 18 = A x - A + \frac{(B) (x + 1) (x - 1)}{x - 1}$

Etapa 2.7.5.2

Divida $(B) (x + 1)$ por $1$ .

$x + 18 = A x - A + (B) (x + 1)$

Etapa 2.7.6

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 18 = A x - A + B x + B \cdot 1$

Etapa 2.7.7

Multiplique $B$ por $1$ .

$x + 18 = A x - A + B x + B$

Etapa 2.8

Mova $- A$ .

$x + 18 = A x + B x - A + B$

Etapa 3

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$1 = A + B$

Etapa 3.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$18 = - 1 A + B$

Etapa 3.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$1 = A + B$

$18 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$18 = - 1 A + B$

Etapa 4

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 4.1

Resolva $A$ em $1 = A + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Reescreva a equação como $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$18 = - 1 A + B$

Etapa 4.1.2

Subtraia $B$ dos dois lados da equação.

$A = 1 - B$

$18 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 A + B$

Etapa 4.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $1 - B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $18 = - 1 A + B$ por $1 - B$ .

$18 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique $- 1 (1 - B) + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$18 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$18 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- B)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$18 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.1.3.2

Multiplique $B$ por $1$ .

$18 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.2.2.1.2

Some $B$ e $B$ .

$18 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$18 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3

Resolva $B$ em $18 = - 1 + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como $- 1 + 2 B = 18$ .

$- 1 + 2 B = 18$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 B = 18 + 1$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.2.2

Some $18$ e $1$ .

$2 B = 19$

$A = 1 - B$

$2 B = 19$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3

Divida cada termo em $2 B = 19$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.1

Divida cada termo em $2 B = 19$ por $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 B}{2} = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{19}{2}$

$A = 1 - B$

Etapa 4.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $\frac{19}{2}$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = 1 - B$ por $\frac{19}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{19}{2})$

$B = \frac{19}{2}$

Etapa 4.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1

Simplifique $1 - (\frac{19}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.4.2.1.1

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$A = \frac{2}{2} - \frac{19}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

Etapa 4.4.2.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$A = \frac{2 - 19}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

Etapa 4.4.2.1.3

Subtraia $19$ de $2$ .

$A = \frac{- 17}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

Etapa 4.4.2.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$A = - \frac{17}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

$A = - \frac{17}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

$A = - \frac{17}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

$A = - \frac{17}{2}$

$B = \frac{19}{2}$

Etapa 4.5

Liste todas as soluções.

$A = - \frac{17}{2}, B = \frac{19}{2}$

Etapa 5

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $x^{3} + x + \frac{A}{x + 1} + \frac{B}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$x^{3} + x + \frac{- \frac{17}{2}}{x + 1} + \frac{\frac{19}{2}}{x - 1}$