Álgebra Exemplos

$\frac{4 y^{2} - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore $2$ de $4 y^{2} - 18 y + 18$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Fatore $2$ de $4 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) - 18 y + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore $2$ de $- 18 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 18}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore $2$ de $18$ .

$\frac{2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.1.4

Fatore $2$ de $2 (2 y^{2}) + 2 (- 9 y)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.1.5

Fatore $2$ de $2 (2 y^{2} - 9 y) + 2 (9)$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot 9 = 18$ e cuja soma é $b = - 9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1.1

Fatore $- 9$ de $- 9 y$ .

$\frac{2 (2 y^{2} - 9 (y) + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.1.1.2

Reescreva $- 9$ como $- 3$ mais $- 6$

$\frac{2 (2 y^{2} + (- 3 - 6) y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (2 y^{2} - 3 y - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{2 ((2 y^{2} - 3 y) - 6 y + 9)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{2 (y (2 y - 3) - 3 (2 y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 y - 3$ .

$\frac{2 ((2 y - 3) (y - 3))}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y^{3} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.3

Fatore $y$ de $y^{3} - 6 y^{2} + 9 y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Fatore $y$ de $y^{3}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} - 6 y^{2} + 9 y}$

Etapa 1.1.3.2

Fatore $y$ de $- 6 y^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + 9 y}$

Etapa 1.1.3.3

Fatore $y$ de $9 y$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y \cdot y^{2} + y (- 6 y) + y \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.4

Fatore $y$ de $y \cdot y^{2} + y (- 6 y)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9}$

Etapa 1.1.3.5

Fatore $y$ de $y (y^{2} - 6 y) + y \cdot 9$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 9)}$

Etapa 1.1.4

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 6 y + 3^{2})}$

Etapa 1.1.4.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 y = 2 \cdot y \cdot 3$

Etapa 1.1.4.3

Reescreva o polinômio.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y (y^{2} - 2 \cdot y \cdot 3 + 3^{2})}$

Etapa 1.1.4.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = y$ e $b = 3$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.5

Reduza a expressão $\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y {(y - 3)}^{2}}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Fatore $y - 3$ de $2 (2 y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{y {(y - 3)}^{2}}$

Etapa 1.1.5.2

Fatore $y - 3$ de $y {(y - 3)}^{2}$ .

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Etapa 1.1.5.3

Cancele o fator comum.

$\frac{(y - 3) (2 (2 y - 3))}{(y - 3) (y (y - 3))}$

Etapa 1.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (2 y - 3)}{y (y - 3)}$

Etapa 1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$

Etapa 1.3

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $y (y - 3)$ .

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.4

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y - 3) (y (y - 3))}{y (y - 3)} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.5

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 y - 3) (y - 3)}{y - 3} = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.5.2

Divida $2 (2 y - 3)$ por $1$ .

$2 (2 y - 3) = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.6

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (2 y) + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.7

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 y + 2 \cdot - 3 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.7.2

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Cancele o fator comum de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$4 y - 6 = \frac{A (y (y - 3))}{y} + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8.1.2

Divida $A (y - 3)$ por $1$ .

$4 y - 6 = A (y - 3) + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$4 y - 6 = A y + A \cdot - 3 + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8.3

Mova $- 3$ para a esquerda de $A$ .

$4 y - 6 = A y - 3 \cdot A + \frac{(B) (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8.4

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$4 y - 6 = A y - 3 A + \frac{B (y (y - 3))}{y - 3}$

Etapa 1.8.4.2

Divida $(B) (y)$ por $1$ .

$4 y - 6 = A y - 3 A + (B) (y)$

$4 y - 6 = A y - 3 A + B y$

Etapa 1.9

Mova $- 3 A$ .

$4 y - 6 = A y + B y - 3 A$

Etapa 2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $y$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$4 = A + B$

Etapa 2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $y$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 6 = - 3 A$

Etapa 2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

$4 = A + B$

$- 6 = - 3 A$

Etapa 3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Resolva $A$ em $- 6 = - 3 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Reescreva a equação como $- 3 A = - 6$ .

$- 3 A = - 6$

$4 = A + B$

Etapa 3.1.2

Divida cada termo em $- 3 A = - 6$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Divida cada termo em $- 3 A = - 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 A}{- 3} = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

$A = \frac{- 6}{- 3}$

$4 = A + B$

Etapa 3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Divida $- 6$ por $- 3$ .

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

$A = 2$

$4 = A + B$

Etapa 3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $4 = A + B$ por $2$ .

$4 = (2) + B$

$A = 2$

Etapa 3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.2.1

Remova os parênteses.

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

$4 = 2 + B$

$A = 2$

Etapa 3.3

Resolva $B$ em $4 = 2 + B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Reescreva a equação como $2 + B = 4$ .

$2 + B = 4$

$A = 2$

Etapa 3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$B = 4 - 2$

$A = 2$

Etapa 3.3.2.2

Subtraia $2$ de $4$ .

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

$B = 2$

$A = 2$

Etapa 3.4

Resolva o sistema de equações.

$B = 2 A = 2$

Etapa 3.5

Liste todas as soluções.

$B = 2, A = 2$

Etapa 4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{y} + \frac{B}{y - 3}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{2}{y} + \frac{2}{y - 3}$