Álgebra Exemplos

${(\sqrt{x - 5})}^{7}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\sqrt{x - 5})}^{7}$ como $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{(x - 5)}^{7}}]$

Etapa 1.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{{(x - 5)}^{7}}$ como ${(x - 5)}^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{7}{2}}]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{7}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{7}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{2} u^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{7 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $7$ .

$\frac{7}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.8

Combine $\frac{7}{2}$ e ${(x - 5)}^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 1.11

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} (1 + 0)$

Etapa 1.12

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.12.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2} \cdot 1$

Etapa 1.12.2

Multiplique $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Como $\frac{7}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{7 {(x - 5)}^{\frac{5}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$ .

$\frac{7}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 5)}^{\frac{5}{2}}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{5}{2}}$ e $g (x) = x - 5$ .

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Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{5}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{5}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} u^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{5 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.6.2

Subtraia $2$ de $5$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5}{2} {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.7

Combine frações.

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Etapa 2.7.1

Combine $\frac{5}{2}$ e ${(x - 5)}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{7}{2} (\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 5])$

Etapa 2.7.2

Multiplique $\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2}$ por $\frac{7}{2}$ .

$\frac{5 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}} \cdot 7}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 2.7.3

Multiplique.

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Etapa 2.7.3.1

Multiplique $7$ por $5$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 2} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 2.7.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \frac{d}{d x} [x - 5]$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 2.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 5])$

Etapa 2.10

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} (1 + 0)$

Etapa 2.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.11.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4} \cdot 1$

Etapa 2.11.2

Multiplique $\frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{35 {(x - 5)}^{\frac{3}{2}}}{4}$