Álgebra Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2} \sqrt{16 - x^{2}}$

Etapa 1

Reescreva o lado direito com expoentes racionais.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{16 - x^{2}}$ como ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.2

Remova os parênteses.

$y = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} \cdot (x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 4.1.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{2} \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

Combine $\frac{x^{2}}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}]$

Etapa 4.1.3

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} \frac{d}{d x} [{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 16 - x^{2}$ .

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Etapa 4.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $16 - x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8

Combine frações.

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Etapa 4.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2} {(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{{(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.3

Mova ${(16 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (x^{2} (\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [16 - x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $16 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.10

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14

Combine frações.

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Etapa 4.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.14.3

Combine $\frac{- 2 x^{2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{2} x}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 (x^{1} x^{2})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.16

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{1 + 2}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.17

Some $1$ e $2$ .

$\frac{1}{2} (\frac{- 2 x^{3}}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.18

Fatore $2$ de $- 2 x^{3}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.19

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.19.1

Fatore $2$ de $2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 ({(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.19.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2} (\frac{2 (- x^{3})}{2 {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.19.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\frac{- x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.20

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 4.21

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} (2 x))$

Etapa 4.22

Reordene.

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Etapa 4.22.1

Mova $2$ para a esquerda de ${(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(16 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} x)$

Etapa 4.22.2

Mova ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.23

Para escrever $2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{x^{3}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.24

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25

Multiplique ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.25.1

Mova ${(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x ({(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}})}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{\frac{2}{2}}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.25.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.26

Simplifique $2 x {(- x^{2} + 16)}^{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.27

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{{(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2} + 16)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28

Simplifique.

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Etapa 4.28.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x^{3} + 2 x (- x^{2}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.28.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.28.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x \cdot x^{2} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.28.2.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 4.28.2.1.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 (x^{2} x^{1}) + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{2 + 1} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{- x^{3} + 2 \cdot - 1 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 2 x \cdot 16}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.1.4

Multiplique $16$ por $2$ .

$\frac{- x^{3} - 2 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.2.2

Subtraia $2 x^{3}$ de $- x^{3}$ .

$\frac{- 3 x^{3} + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.3

Fatore $x$ de $- 3 x^{3} + 32 x$ .

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Etapa 4.28.3.1

Fatore $x$ de $- 3 x^{3}$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + 32 x}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.3.2

Fatore $x$ de $32 x$ .

$\frac{x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.3.3

Fatore $x$ de $x (- 3 x^{2}) + x \cdot 32$ .

$\frac{x (- 3 x^{2} + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) + 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.5

Reescreva $32$ como $- 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2}) - 1 (- 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{2}) - 1 (- 32)$ .

$\frac{x (- (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.7

Reescreva $- (3 x^{2} - 32)$ como $- 1 (3 x^{2} - 32)$ .

$\frac{x (- 1 (3 x^{2} - 32))}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.28.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x (3 x^{2} - 32)}{2 {(- x^{2} + 16)}^{\frac{1}{2}}}$