Álgebra Exemplos

$f (x) = \frac{1}{x^{2}}$ , $g (x) = \sqrt{2 + x}$

Etapa 1

Encontre o quociente das funções.

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Etapa 1.1

Substitua os designadores de função pelas funções reais em $\frac{f (x)}{g (x)}$ .

$\frac{\frac{1}{x^{2}}}{\sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2

Simplifique.

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Etapa 1.2.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2.2

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2.3

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}} \cdot \frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2.5

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.2.5.1

Multiplique $\frac{1}{x^{2} \sqrt{2 + x}}$ por $\frac{\sqrt{2 + x}}{\sqrt{2 + x}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} \sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x}}$

Etapa 1.2.5.2

Mova $\sqrt{2 + x}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (\sqrt{2 + x} \sqrt{2 + x})}$

Etapa 1.2.5.3

Eleve $\sqrt{2 + x}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} \sqrt{2 + x})}$

Etapa 1.2.5.4

Eleve $\sqrt{2 + x}$ à potência de $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} ({\sqrt{2 + x}}^{1} {\sqrt{2 + x}}^{1})}$

Etapa 1.2.5.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.2.5.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {\sqrt{2 + x}}^{2}}$

Etapa 1.2.5.7

Reescreva ${\sqrt{2 + x}}^{2}$ como $2 + x$ .

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Etapa 1.2.5.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2 + x}$ como ${(2 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {({(2 + x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.2.5.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.2.5.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.5.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.2.5.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} {(2 + x)}^{1}}$

Etapa 1.2.5.7.5

Simplifique.

$\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$

Etapa 2

Defina o radicando em $\sqrt{2 + x}$ como maior do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está definida.

$2 + x \geq 0$

Etapa 3

Subtraia $2$ dos dois lados da desigualdade.

$x \geq - 2$

Etapa 4

Defina o denominador em $\frac{\sqrt{2 + x}}{x^{2} (2 + x)}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x^{2} (2 + x) = 0$

Etapa 5

Resolva $x$ .

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Etapa 5.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$2 + x = 0$

Etapa 5.2

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.2.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.3

Defina $2 + x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.3.1

Defina $2 + x$ como igual a $0$ .

$2 + x = 0$

Etapa 5.3.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5.4

A solução final são todos os valores que tornam $x^{2} (2 + x) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 6

O domínio consiste em todos os valores de $x$ que tornam a expressão definida.

Notação de intervalo:

$(- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x > - 2, x \neq 0}$

Etapa 7