Álgebra Exemplos

$\frac{y^{3} - y^{2} + 8 y - 5}{y - 7}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ é $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , em que $f (y) = y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ e $g (y) = y - 7$ .

$\frac{(y - 7) \frac{d}{d y} [y^{3} - y^{2} + 8 y - 5] - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y^{3} - y^{2} + 8 y - 5$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]$ .

$\frac{(y - 7) (\frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} + \frac{d}{d y} [- y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d y} [- y^{2}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- y^{2}$ em relação a $y$ é $- \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - (2 y) + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + \frac{d}{d y} [8 y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d y} [8 y]$ .

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Etapa 4.1

Como $8$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $8 y$ em relação a $y$ é $8 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 4.3

Multiplique $8$ por $1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + \frac{d}{d y} [- 5]) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $- 5$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 5$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8 + 0) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5.2

Some $3 y^{2} - 2 y + 8$ e $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \frac{d}{d y} [y - 7]}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y - 7$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7]$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + \frac{d}{d y} [- 7])}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5.5

Como $- 7$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $- 7$ em relação a $y$ é $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) (1 + 0)}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 5.6

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - (y^{3} - y^{2} + 8 y - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) + (- y^{3} - - y^{2} - (8 y) - - 5) \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8) - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.1

Expanda $(y - 7) (3 y^{2} - 2 y + 8)$ multiplicando cada termo na primeira expressão por cada um dos termos na segunda expressão.

$\frac{y (3 y^{2}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.3.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 y \cdot y^{2} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.2.1

Mova $y^{2}$ .

$\frac{3 (y^{2} y) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 6.3.1.2.2.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{3 (y^{2} y^{1}) + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 y^{2 + 1} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$\frac{3 y^{3} + y (- 2 y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{3 y^{3} - 2 y \cdot y + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.4

Multiplique $y$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 6.3.1.2.4.1

Mova $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 (y \cdot y) + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.4.2

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + y \cdot 8 - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.5

Mova $8$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 \cdot y - 7 (3 y^{2}) - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.6

Multiplique $3$ por $- 7$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} - 7 (- 2 y) - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.7

Multiplique $- 2$ por $- 7$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 7 \cdot 8 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.2.8

Multiplique $- 7$ por $8$ .

$\frac{3 y^{3} - 2 y^{2} + 8 y - 21 y^{2} + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.3

Subtraia $21 y^{2}$ de $- 2 y^{2}$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 8 y + 14 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.4

Some $8 y$ e $14 y$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} \cdot 1 - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} - - y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.6

Multiplique $- - y^{2}$ .

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Etapa 6.3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + 1 y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.6.2

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} \cdot 1 - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.7

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - (8 y) \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.8

Multiplique $8$ por $- 1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y \cdot 1 - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.9

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y - - 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.10

Multiplique $- - 5 \cdot 1$ .

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Etapa 6.3.1.10.1

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5 \cdot 1}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.1.10.2

Multiplique $5$ por $1$ .

$\frac{3 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 - y^{3} + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.2

Subtraia $y^{3}$ de $3 y^{3}$ .

$\frac{2 y^{3} - 23 y^{2} + 22 y - 56 + y^{2} - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.3

Some $- 23 y^{2}$ e $y^{2}$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 22 y - 56 - 8 y + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.4

Subtraia $8 y$ de $22 y$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 56 + 5}{{(y - 7)}^{2}}$

Etapa 6.3.5

Some $- 56$ e $5$ .

$\frac{2 y^{3} - 22 y^{2} + 14 y - 51}{{(y - 7)}^{2}}$